Inverse Abbildung bestimmen

Question

Hallo sei $$ V = \mathbb{R}[x]_{<n} $$ und $$ \Delta: V \rightarrow V, p(x)->p'(x) $$ (Ableitung).

Zu bestimmen ist, ob $$ Id_V + \Delta $$ invertierbar ist und die Inverse Abbildung soll ggf. bestimmt werden.

$$ Id_V $$ müsste ja $$ (1, x, x^2,...) $$ und $$ \Delta = (1, 2x,...,(n-1)^{tn-2}) $$ sein. $$ Id_V $$  Ist ja die Einheitsmatrix. und $$ \Delta $$ ein Vielfaches davon, also ist die Summe invertierbar. Stimmt das so? Wie bestimmt man dann die inverse Abbildung?

Answer 1

Hi,

$$Id_V$$

ist nicht die Einheitsmatrix, sondern die Identität, die jedes Element aus V auf sich selbst abbildet.

Die Abbildung

$$Id_V+ \Delta$$
ist nicht invertierbar.

Tipp: Eine Abbildung ist genau dann invertierbar, wenn sie bijektiv ist. D.h. du kannst aus nicht bijektiv folgern, dass die Abbildung nicht invertierbar ist.

Überlege dir nun wie du zeigen kannst, dass sie nicht bijektiv ist.

Comments

Wenn eine Abbildung bijektiv ist, dann ist sie ja auch injektiv und dann könnte man doch zeigen, dass die Funktion $$ \Delta $$ angewandt auf die Einheitsvektoren linear abhängig ist, woraus dann folgt, dass sie nicht injektiv und somit auch nicht invertierbar ist. Nur wüsste ich nicht, wie ich das in diesem Fall zeigen soll. 

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Sorry, hatte mich geirrt. Die Abbildung ist invertierbar, wenn wir uns den Wertebereich als $$W=(Id_v+\Delta)(V)$$ definieren.

Die Surjektivität ist natürlich somit erfüllt. Wir müssen also nur noch die Injektivität zeigen. Da eine lineare Abbildung vorliegt, ist diese genau dann injektiv, wenn der Kern nur das Nullelement enthält.D.h. wir müssen schauen, welche Elemente auf das Nullelement (hier: Die Nullfunktion) abgebildet werden. Offensichtlich wird nur die Nullfunktion auf sich selbs abgebildet, womit unsere Funktion injektiv ist.

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Nun zur inversen Abbildung:

Wir wollen die inverse Abbildung bestimmen von

$$Id_V+\Delta: \ V \to \ Im(Id_v+\Delta), \ p \mapsto p+p'$$

D.h. wir wissen bis jetzt, dass die Inverse wie folgt ausschaut:

$$\left( Id_V+\Delta \right)^{-1}: \ Im(Id_V+\Delta) \to V, \ p \mapsto \left( Id_v+\Delta \right)^{-1}(p)$$

Die Frage ist: Was genau ist $$\left( Id_V+\Delta \right)^{-1}(p) \ \text{?}$$

Ich habe mir mal angeschaut worauf ein Element aus V unter der Abbildung Id_V+Δ abgebildet wird:

$$p=\lambda_0+ \lambda_1 x+ \lambda_2 x^2+\dots + \lambda_n x^n \mapsto p+p'=(\lambda_0+\lambda_1)+(\lambda_1+2\lambda_2)x+(\lambda_2+3 \lambda_3)x^2+ \dots + (\lambda_{n-1}+n \lambda_n) x^{n-1}+\lambda_n x^n$$

Diese Gleichung kennzeichnen wir mit (1), damit ich später darauf verweisen kann.

(Das erkennt man, wenn man sich das mal anschaut für n=3 zum Beispiel)

Nun definiere ich $$\mu_i = \lambda_{i} + (i+1) \lambda_{i+1} \ \text{für i<n}$$

und $$\mu_n=\lambda_n$$

sodass wir $$\lambda_0+ \lambda_1 x+ \lambda_2 x^2+\dots + \lambda_n x^n \mapsto \mu_0+\mu_1 x+\mu_2 x^2+ \dots + \mu_{n-1} x^{n-1}+\mu_n x^n$$

erhalten.

Außerdem definieren wir

$$x=(1 \ x \ x^2 \dots x^{n-1} \ x^n)$$

und $$\mu=(\mu_0 \ \mu_1 \ \dots \ \mu_{n-1} \ \mu_n)^t$$

sodass wir

$$\lambda_0+ \lambda_1 x+ \lambda_2 x^2+\dots + \lambda_n x^n \mapsto x \cdot \mu $$
erhalten.

Ziel ist es nun durch unser μ zu bestimmt wie unser λ ausschaut.

Wir definieren:

$$\lambda=(\lambda_0 \ \lambda_1 \ \dots \ \lambda_{n-1} \ \lambda_n)^t$$

Wir müssen wegen (1) nun

$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots  & \vdots & \vdots & \ddots & 1 & n-1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \lambda = \mu$$ lösen. Es muss ja μ₀=λ₀+λ₁, μ₁=λ₁+2λ₂ usw. gelten. Ich habe das lineare Gleichungssystem einfach mit Hilfe einer Matrix aufgeschrieben.

Diese Matrix nennen wir mal A_n. Sie ist invertierbar, da sie vollen Rang hat.

Möchte ich nun mein λ berechnen, so kann ich das einfach über

$$\lambda = A^{-1}_n \mu$$

tun.

Somit ist mein Urbild meines Elements p+p' folgendes:

$$ \left( Id_V+\Delta \right)^{-1}(p+p')= x \cdot \lambda $$

Unsere Inverse lautet also:

$$\left( Id_V+\Delta \right)^{-1}: \ Im(Id_V+\Delta)  \to V: \ x \cdot \mu\ \mapsto x \cdot (A^{-1}_n \mu) $$

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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung :) schaue mir den Teil noch einmal an.

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Aber das bedeutet doch, dass in diesem Fall, so wie die Aufgabe gestellt ist die Abbildung nicht invertierter ist, da sie nicht subjektiv ist oder nicht. Du schränkst ja den Wertebereich ein.