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Hi ho ich hab würde mich echt freuen, wenn jemand mir helfen könnte.

Obwohl ich bereits den Hinweis bekommen habe mit dem Fall m=1 zu untersuchen, habe ich immer noch keine Idee wie ich diese Aufgabe machen soll. :(

Ich freue mich über jede Art von Hilfe :)


Hier die Aufgabe:

Seien V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum, ƒ∈L(V,V) und

p:= (t−μ1)(t−μ2)...(t−μm)∈K[t]≤m.

Analog zum Matrixfall definieren wir

p(ƒ):= (ƒ−μ1idV)◦(ƒ−µ2idV)◦...◦(ƒ−µmidV)∈L(V,V).

Zeigen Sie, dass p(ƒ) genau dann bijektiv ist, wenn μ1,...,μm keine Eigenwerte von ƒ sind.

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Hallo :-)

Betrachte doch erstmal den Fall für \(m=1\). Den Rest kannst du dann induktiv für den allgemeineren Fall zeigen.

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Hallo :),

es wäre mir eine große Hilfe wenn du einen Ansatz für m=1 geben könntest

Lg

V ist endlich dimensional, f ist ein Endomorphismus auf V. Also ist

f bijektiv <=> f surjektiv <=> f injektiv <=> ker f = { 0 }

Genau, das ist eine Möglichkeit.

@ Leon123456. Du kannst nun insbesondere zum letzten Teil (\(\operatorname{Ker}(f)=\{0\}\) im Zusammenhang zur Definition vom Eigenvektor deine Schlussfolgerung ziehen.

ich verstehe aber nicht ganz man muss doch zeigen dass p(f) bijektiv ist und nicht f.

oder ist das in dem fall egal?

Ich zeige mal die Richtung: \(\mu_1\) kein Eigenwert von \(f\), dann ist \(p(f)=f-\mu_1\cdot id_V\) bijektiv.

Das sieht man daran:

Da \(\mu_1\) kein Eigenwert von \(f\) ist, ist \(\mu_1\) keine Nullstelle vom charakteristischen Polynom \(f\),d.h. es gilt

\(\det(p(f))=\det(f-\mu_1\cdot id_V)\neq 0\). Also hat \(p(f)\) vollen Rang und ist damit invertierbar, also bijektiv.


Und so zeigst du ganz ähnlich die andere Richtung und den induktiven Schritt.

Achso ok habe es jetzt verstanden hatte einen kleinen denkfehler

vielen dank :)

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