Zeigen Sie, dass p(ƒ) genau dann bijektiv ist, wenn μ1,...,μm keine Eigenwerte von ƒ sind.

Question

Hi ho ich hab würde mich echt freuen, wenn jemand mir helfen könnte.

Obwohl ich bereits den Hinweis bekommen habe mit dem Fall m=1 zu untersuchen, habe ich immer noch keine Idee wie ich diese Aufgabe machen soll. :(

Ich freue mich über jede Art von Hilfe :)

Hier die Aufgabe:

Seien V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum, ƒ∈L(V,V) und

p:= (t−μ₁)(t−μ₂)...(t−μ_m)∈K[t]_≤m.

Analog zum Matrixfall definieren wir

p(ƒ):= (ƒ−μ₁id_V)◦(ƒ−µ₂id_V)◦...◦(ƒ−µ_mid_V)∈L(V,V).

Zeigen Sie, dass p(ƒ) genau dann bijektiv ist, wenn μ₁,...,μ_m keine Eigenwerte von ƒ sind.

Answer 1

Hallo :-)

Betrachte doch erstmal den Fall für \(m=1\). Den Rest kannst du dann induktiv für den allgemeineren Fall zeigen.

Comments

Hallo :),

es wäre mir eine große Hilfe wenn du einen Ansatz für m=1 geben könntest

Lg

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V ist endlich dimensional, f ist ein Endomorphismus auf V. Also ist

f bijektiv <=> f surjektiv <=> f injektiv <=> ker f = { 0 }

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Genau, das ist eine Möglichkeit.

@ Leon123456. Du kannst nun insbesondere zum letzten Teil (\(\operatorname{Ker}(f)=\{0\}\) im Zusammenhang zur Definition vom Eigenvektor deine Schlussfolgerung ziehen.

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ich verstehe aber nicht ganz man muss doch zeigen dass p(f) bijektiv ist und nicht f.

oder ist das in dem fall egal?

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Ich zeige mal die Richtung: \(\mu_1\) kein Eigenwert von \(f\), dann ist \(p(f)=f-\mu_1\cdot id_V\) bijektiv.

Das sieht man daran:

Da \(\mu_1\) kein Eigenwert von \(f\) ist, ist \(\mu_1\) keine Nullstelle vom charakteristischen Polynom \(f\),d.h. es gilt

\(\det(p(f))=\det(f-\mu_1\cdot id_V)\neq 0\). Also hat \(p(f)\) vollen Rang und ist damit invertierbar, also bijektiv.

Und so zeigst du ganz ähnlich die andere Richtung und den induktiven Schritt.

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Achso ok habe es jetzt verstanden hatte einen kleinen denkfehler

vielen dank :)