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Sei \( \mathbb{R}[X]_{\leq 2}=\left\{a_{0}+a_{1} X+a_{2} X^{2} | a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}\right\} \) der \( \mathbb{R} \) -Vektorraum der Polynome vom
Grad \( \leq 2, \) und sei die lineare Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}[X]_{\leq 2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) definiert durch
$$ \varphi(f):=\left(\begin{array}{l} {f(0)} \\ {f(1)} \\ {f(2)} \end{array}\right) $$

1 Zeigen Sie, dass \( \varphi \) bijektiv ist.

2 Berechnen Sie die Abbildungsmatrix \( D_{B, E}\left(\varphi^{-1}\right) \) der inversen Abbildung.

3 Geben Sie für allgemeine \( b_{0}, b_{1}, b_{2} \in \mathbb{R} \) ein Polynom \( f(X) \in \mathbb{R}[X]_{\leq 2} \) an, so dass gilt:
$$ f(0)=b_{0}, \quad f(1)=b_{1}, \quad f(2)=b_{2} $$

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Hallo

schreibe  die 3 Funktionswerte auf,  zeige dass man daraus wieder a0,a1,a2  eindeutig bestimmen kann, dann hast du die Bijektivität.

 wenn du das explizit machst hast du auch schon die Matrix der Umkehrabbildung.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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