Erklären sie wie die Abbildungsmatrix aussieht! Bijektivität?

Question

Ich weiß zwar, wie man im allgemeinen eine Abbildungsmatrix berechnet, aber ich komme hier einfach nicht weiter, weil mich das mit der Permutation durcheinander bringt. Danke für eure Hilfe :)

Answer 1

In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen ja die Koeffizienten, die du

zur Darstellung des Bildes eines jeden Basisvektors brauchst.

Da das Bild immer wieder einer von den Basisvektoren ist,

sieht das z.B. so aus, wenn bei der Permutation 1 auf 3 abgebildet wirdalso 

z.B.   σ(1) = 3     Dann ist   α(b₁) = b₃    

Also wäre die 1. Spalte der Matrix  ( 0 , 0 , 1 , 0 , ... , 0)^T    .

Die Spalten der Matrix bestehen also aus den Einheitsvektoren, nur nicht inder üblichen Reihenfolge e₁ ; e₂ ; ....  e_n   sondern

e_σ(1) ; e_σ(2) ; ....  e_σ(n)     Und weil die Spalten dann nat. immer noch lin. unabh. sind,

ist die Abb. bijektiv.