Abbildungsmatrix surjektiv Beweis

Question

Beweisen Sie das:

\( A_{a}^{b}: \operatorname{Hom}_{K}(V1, V2) \rightarrow \mathscr{M}_{m, n}(K), \quad f \mapsto A_{a}^{b}(f) \)

surjektiv ist.

Ich würde sagen man könnte eine Inverse finden zu A, sodass man f auf eine seite bekommt.

Aber ich bin mir gerade unsicher.

Hat da jemand einen Ansatz?

Comments

Soll \(a\) eine Basis von \(V_1\), und \(b\) eine solche von \(V_2\) sein?
Ist \(n=\dim V_1\) und \(m=\dim V_2\) ?

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b ist eine Basis von V1 mit (b1,...bn)^T und a ist eine Basis von V2 mit (a1,...am)^T

m sind die Zeilen und n die Spalten.

Answer 1

Sei \(A=(a_{ij}) \in \mathscr{M}_{m, n}(K)\). Wir suchen einen Homomorphismus

\(f\in \operatorname{Hom}(V_1,V_2)\) mit \(A_a^b(f)=A\).

Da \(b\) eine Basis ist, kann man den Basiselementen beliebige Werte

zuschreiben und legt damit einen Homomorphismus fest.

Wir definieren \(f\) durch \(f(b_j)=\sum_{i=1}^m a_{ij}a_i\) für \(j=1,\cdots,n\).

Dann gilt offenbar \(A_a^b(f)=A\) , womit die Surjektivität bewiesen ist.