Das erste Spiel geht zurück auf den niederländischen Mathematiker Willem Abraham Wythoff (1865 – 1939) und wird so beschrieben:
Zwei Spieler nehmen abwechselnd Steine von zwei Haufen mit einer beliebigen Zahl von Steinen. Entweder nehmen sie eine beliebige Anzahl Steine von einem Haufen oder die gleiche Anzahl von beiden Haufen. Wer den letzten Stein nimmt, gewinnt.
Bei der Verlegung des gleichen Spiels auf ein Schachbrett hat es folgende Regeln:
Zwei Spieler bewegen abwechselnd eine Dame auf einem nach Westen und Süden begrenzten sonst aber beliebig großen Schachbrett. Die Züge der Dame sind die im Schachspiel üblichen mit der Einschränkung, dass Züge nach Norden, Osten oder Nordosten nicht erlaubt sind. Gewonnen hat, wer auf die südwestlichste Ecke des Schachbrettes (Position (0|0)) zieht.
Angenommen, die Dame steht zu Beginn des Spieles auf dem Feld (5|2). Dann wird der Spieler A, wenn er taktisch klug spielt, auf das Feld (1|2) ziehen. Denn damit kann Spieler B nur noch auf ein Feld ziehen, von dem aus A mit einem Zug auf das Feld (0|0) gelangt.
Das Feld (1|2) gehört zu der Menge der Felder, die bei geeigneter Taktik den Sieg einleiten. Diese Menge hat Wythoff beschrieben als Felder mit den Koordinaten (floor(n·Φ)|floor(n·Φ2)). Dabei ist n eine natürliche Zahl, ‚floor‘ der Abrundebefehl und Φ=(√5+1)/2. Wer Genaueres wissen will, sei auf https://monoid.mathematik.uni-mainz.de/monoid106.pdf Seite 9 – 12 verwiesen.
Das zweite Spiel findet auf dem gleichen Schachbrett statt, dessen Zeilen und Spalten allerdings von 1 bis n nummeriert sind. Diesmal ist ein Turm die Spielfigur, der von zwei Spielern abwechselnd nur nach Westen und Süden gezogen werden darf, und zwar:
Ein Turm auf dem Feld (a|b) mit a<b darf nur in Sprüngen der Länge a in südlicher Richtung bewegt werden und im Falle a>b nur in Sprüngen der Länge b in westlicher Richtung. Gewonnen hat der der Spieler, der auf ein Feld (a|b) mit a=b zieht.
Steht also ein Turm auf dem Feld (3|6), kann er mit einem Zug auf die Siegposition (3|3) gezogen werden. Generell ist es sinnvoll, mit einem Paar teilerfremder Koordinaten a und b zu beginnen.
Ziel ist dann - wie im Spiel zuvor – das linke untere Feld. Wegen seines starken Bezugs zum euklidischen Algorithmus heißt es ‚Das Spiel Euklid‘.
Die Gewinnstrategie lautet hier, auf ein Feld zu ziehen, das oberhalb der Geraden y=x/Φ und unterhalb der Geraden y=Φ·x liegt. Auch dieses Spiel hat wieder einen Bezug zum goldenen Schnitt. Näheres dazu findet man unter: https://monoid.mathematik.uni-mainz.de/monoid115.pdf Seite 35 – 37.
