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Aufgabe:



Die Aufgaben lauten:


a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix M E3 E2(Φ)von Φ bezüglich der Standardbasen E3 und E2 der reellen Vektorräume R3 und R2

b)Bestimmen Sie den Kern ker(Φ)und das Bild Φ (R3) von Φ. Ist Φ injektiv? Ist Φ surjektiv?


Problem/Ansatz:


Wie ist die Herangehensweise bei der Aufgabe a) um auf die geforderte Abbildungsmatrix zu kommen?


Wie kann ich bei b) die Injektivität und Surjektivität nachweisen? Wie wird der  ker(Φ) und das Bild Φ (R3) von Φ bestimmt?

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2 Antworten

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In der Matrix sind die Spalten die Bilder der Basisvektoren, also

    1
Φ(0 )    =    1
    0            -4

und damit ist die erste Spalte schon mal klar

1     ?      ?
-4    ?      ?

Die anderen ? bekommst du durch  Φ(e2) und  Φ(e3) .

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Aloha :)

$$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{c}x-2y+z\\-4x+2y-z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\-4\end{array}\right)\cdot x+\left(\begin{array}{c}-2\\2\end{array}\right)\cdot y+\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)\cdot z$$$$\Rightarrow\quad M=\left(\begin{array}{c}1 & -2 & 1\\-4 & 2 & -1\end{array}\right)$$

Bild und Kern kannst du in einem Algorithmus berechnen. Bringe die Matrix \(M\) durch Spaltenumformungen auf Stufenform. Die gleichen Umformungen führst du an einer quadratischen Einheitsmatrix durch, die genauso viele Spalten wie \(M\) hat:$$\left(\begin{array}{c}1 & -2 & 1\\-4 & 2 & -1\end{array}\right)\quad;\quad \left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Addiere 2-mal Spalte 1 zu Spalte 2 und subtrahiere Spalte 1 von Spalte 3:$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\-4 & -6 & 3\end{array}\right)\quad;\quad \left(\begin{array}{c}1 & 2 & -1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Addiere die Hälfte der zweiten Spalte zur dritten:$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\-4 & -6 & 0\end{array}\right)\quad;\quad \left(\begin{array}{c}1 & 2 & 0\\0 & 1 & \frac{1}{2}\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Alle Nicht-Null-Spalten der linken Matrix bilden das Bild der Matrix:$$\text{Bild}(M)=\alpha\left(\begin{array}{c}1 \\-4\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}0 \\-6\end{array}\right)\quad;\quad\alpha,\beta\in\mathbb{R}$$Links enthält die 3-te Spalte nur Nullen, also wird der Kern von der dritten Spalte der rechten Matrix gebildet:$$\text{Kern}(M)=\gamma\left(\begin{array}{c}0\\\frac{1}{2}\\1\end{array}\right)\quad;\quad\gamma\in\mathbb{R}$$Der Kern liefert alle Vektoren, die auf den Nullvektor abbilden. Der Nullvektor wird hier also unendlich oft erreicht, die Abbildung ist nicht injektiv. Das Bild von \(f\) ist der \(\mathbb{R}^2\), daher ist die Abbildung surjektiv.

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