Aloha :)
$$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{c}x-2y+z\\-4x+2y-z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\-4\end{array}\right)\cdot x+\left(\begin{array}{c}-2\\2\end{array}\right)\cdot y+\left(\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right)\cdot z$$$$\Rightarrow\quad M=\left(\begin{array}{c}1 & -2 & 1\\-4 & 2 & -1\end{array}\right)$$
Bild und Kern kannst du in einem Algorithmus berechnen. Bringe die Matrix \(M\) durch Spaltenumformungen auf Stufenform. Die gleichen Umformungen führst du an einer quadratischen Einheitsmatrix durch, die genauso viele Spalten wie \(M\) hat:$$\left(\begin{array}{c}1 & -2 & 1\\-4 & 2 & -1\end{array}\right)\quad;\quad \left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Addiere 2-mal Spalte 1 zu Spalte 2 und subtrahiere Spalte 1 von Spalte 3:$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\-4 & -6 & 3\end{array}\right)\quad;\quad \left(\begin{array}{c}1 & 2 & -1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Addiere die Hälfte der zweiten Spalte zur dritten:$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\-4 & -6 & 0\end{array}\right)\quad;\quad \left(\begin{array}{c}1 & 2 & 0\\0 & 1 & \frac{1}{2}\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Alle Nicht-Null-Spalten der linken Matrix bilden das Bild der Matrix:$$\text{Bild}(M)=\alpha\left(\begin{array}{c}1 \\-4\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}0 \\-6\end{array}\right)\quad;\quad\alpha,\beta\in\mathbb{R}$$Links enthält die 3-te Spalte nur Nullen, also wird der Kern von der dritten Spalte der rechten Matrix gebildet:$$\text{Kern}(M)=\gamma\left(\begin{array}{c}0\\\frac{1}{2}\\1\end{array}\right)\quad;\quad\gamma\in\mathbb{R}$$Der Kern liefert alle Vektoren, die auf den Nullvektor abbilden. Der Nullvektor wird hier also unendlich oft erreicht, die Abbildung ist nicht injektiv. Das Bild von \(f\) ist der \(\mathbb{R}^2\), daher ist die Abbildung surjektiv.
