a) bei dem Volumen handelt es sich um einen Quader, daher wähle kartesische Koordinaten.
dann ist dV=dxdydz
Das Schöne ist, das x,y,z in einem Quader voneinander unabhängig sind.
Der Skizze kannst du entnehmen, dass 0<=x<=1; 0<=y<=3 und 0<=z<=2
∫fdV=∫01dx∫03dy∫02dz (x^2+y-z^2)=∫01dx∫03dy(2x^2+2y-8/3)=∫01dx (6x^2+1)=3
b)
F=(x+3y,4x+4y)
C1 zerlegt man in zwei Teilstücke, sodass gilt C1=Ca+Cb
Kurve Ca: t∈[0,1] , X(t)=(t,0) Weg entlang x-Achse
dX/dt=(1,0)--> dX=(1,0)dt
--> ∫Ca F(x,y)dX=∫01(x+3y,4x+4y)*(1,0)dt=∫01(x+3y)dt=∫01(t+3*0)dt=1/2
Kurve Cb: t∈[0,1] , X=(1,t) Weg parallel zur y-Achse
dX/dt=(0,1) -> dX=(0,1)dt
-->∫Cb F(x,y)dX=∫01(x+3y,4x+4y)*(0,1)dt=∫01(4x+4y)dt=∫01(4*1+4t)dt=8
-->∫C F(x,y)dX=∫Ca F(x,y)dX+∫Cb F(x,y)dX=8.5
C2: t∈[0,1] , X(t)=(t,t), dX=(1,1)dt
∫C2 F(x,y)dX=∫01(x+3y,4x+4y)*(1,1)dt=∫01(t+3t,4t+4t)*(1,1)dt=∫01(t+3t+4t+4t)dt=∫01(12t)dt=6≠8.5
Somit gibt es für zwei verschiedene Wege mit selben Anfangs- und Endpunkt unterschiedliche Ergebnisse.
Also existiert keine Potentialfunktion Φ(x,y), sodass -grad Φ(x,y)=F(x,y)
