Extremstellen bestimmen. Bsp. f(x)= 2x•e^{-x}

Question

ich komme hier nicht weiter:

Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion f und untersuchen Sie f auf Extremstellen.

a)f(x)= 2x•e^-x

b)f(x)= (-x+2)•e^x

Answer 1

a) f(x)=2x*e^{-x}

Ableitung mit Produkt und Kettenregel

f'(x)=2*e^{-x}-2x*e^{-x}=2*(-x+1)e^{-x}

f''(x)=2*[-e^{-x}-(-x+1)e^{-x}]=2*(x-2)*e^{-x}

Extremstellen: 1. Ableitung Null setzen

f'(x)=0

2*(-x+1)e^{-x}=0 Satz vom Nullprodukt, e^{-x} wird nicht Null

--> (-x+1)=0 --> x=1

zur Überprufung, ob es ein Extremum ist, x-Wert in zweite Ableitung einsetzen:

f''(x=1)=2*(1-2)*e^{-1}=-2*e^{-1}<0 --> Maximum

b) f(x)=(-x+2)*e^{x}

f'(x)=-e^{x}+(-x+2)*e^{x}=(-x+1)*e^{x}

f''(x)=-e^{x}+(-x+1)*e^{x}=-x*e^{x}

f'(x)=0

(-x+1)*e^{x}=0

--> x=1

f''(x=1)=-1*e^{1}=-e<0 --> Maximum

~plot~ 2x*e^{-x};(-x+2)*e^x ~plot~