Untersuchen Sie die Funktion auf Extrema! f(x)= (e^x*2e^{x^2})/(3e^{2x})

Question

f(x)= (e^x*2e^{x^2})/(3e^{2x})

Comments

f(x)= (e^x*2e^{x^2})/(3e^2x)

Vereinfachen nach Potenzgesetzen

f(x)= (2e^{x + x^2})/(3e^2x)

 =2/3 *e^{x+x^2 -2x}

= 2/3 *e^{x^2 -x}

An dieser Stelle könntest du nun f(x) nach der Kettenregel ableiten.

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Ist die Lösung lokales Minimum bei x1=1/2 richtig?

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Ja. Vgl. Rechnung von Unknown.

Answer 1

Hi,

die Vereinfachung von Lu sei gegeben:

 

f(x) = 2/3 *e^x2 -x

f'(x) = 2/3*(2x-1)e^{x²-x}

f''(x) = 2/3*(2x-1)^2e^{x²-x} + 2/3*2*e^{x²-x} = (8x^2-8x+6)/3 * e^{x²-x}

(Beachte hier die Produktregel, die sich ergibt!)

 

Nun müssen wir die erste Ableitung 0 setzen. Dabei haben wir hier ja ein Produkt. Schauen wir uns die einzelnen Faktoren an. Die e-Funktion wird nie 0, also reicht das betrachten von

(2x-1) = 0

-> x = 1/2

 

Das in die zweite Ableitung eingesetzt ergibt einen f''(1/2) > 0 -> Minimum.

Einsetzen in f(x) und wir erhalten T(1/2|0,52).

 

Grüße

Comments

Aus der Gründen der Arbeitsreduzierung könnte man auch
anstelle der Bildung der 2.Ableitung
f''(x) = 2/3*(2x-1)^2e^{x²-x} + 2/3*2*e^x2-x = (8x²-8x+6)/3 * e^x2-x

die Art des Extrempunkts über die Monotonie feststellen
f ´( x ) > 0 ( steigend )
f ' ( x ) = 2/3 * (2x-1) * e^x2-x
=> 2x - 1 > 0
x > 1/2
Der Extrempunkt ist also ein Tiefpunkt.
mfg Georg