Wie kann ich U bestimmen für Flächeninhalt

Question

Gegeben ist die Funktion f (x) = X4- x. Das schaubild schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. in diese Fläche soll ein Dreieck eingeschrieben werden. Die Eckpunkte des Dreiecks sind A(o/o), B(u/o) und C(u/f(u)). Bestimmen sie u so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird.

Habe ich als Übung für meine nächste Mathe arbeit. Hilfe wie geht das?

Answer 1

f (x) = x^4- x  

Graph: ~plot~ x^4- x; x= 2/3; -0.7x ~plot~ 

Die Skizze enthält ein Dreieck (nicht exakt das gesuchte Dreieck) für das Beispiel u = 2/3. 

f(x) = x ( x^3 -1) Nullstellen 0 und 1. Daher sollte u zwischen 0 und 1 liegen.

 A(o/o), B(u/o) und C(u/ u^4 - u)

Fläche der Dreiecks

A(u) = 1/2 * u ( u^4 - u) 

A(u) = 1/2 * ( u^5 - u^2) 

A'(u) = 1/2 * (5u^4 - 2u) 

A'(u) = 1/2 * u (5u^3 - 2) 

u=0 gibt sicher eher ein Minimum als ein Maximum.

Daher 5u^3 = 2

u^3 = 2/5

u = ³√(2/5) 

Zeichne und rechne nach.