Es sei \( U\subset ℝ\times { ℝ }^{ 2 }\) offen und es sei \( f:U\rightarrow { ℝ }^{ 2 } \) stetig. Für eine beliebige Lösung \( \phi =\left( \begin{matrix} { \phi }_{ 1 } \\ { \phi }_{ 2 } \end{matrix} \right) :J\rightarrow { ℝ }^{ 2 } \) von \( y'=f(x,y) \) definiert man die zugehörige Lösungskurve im Phasenraum \( { ℝ }^{ 2 } \) als $$ { K }_{ \phi }\left\{ \left( \begin{matrix} { \phi }_{ 1 }(x) \\ { \phi }_{ 2 }(x) \end{matrix} \right)\quad |\quad x\in J \right\} . $$ Das Phasenportrait besteht aus sämtlichen Kurven \( { K }_{ \phi } \) zu Lösungen \( \phi \) von \( y'=f(x,y) \). Skizzieren Sie für die Differentialgleichung \( y'=Ay \) mit den folgenden Matrizen \( A\in { ℝ }^{ 2\times 2 } \) die Phasenportraits, indem Sie eine repräsentative Auswahl der Lösungskurven zeichnen:
1) $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$
2) $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} $$
3) $$ A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} $$
4) $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} .$$
Hinweis zur 1) und 2): Drücken Sie die x-Koordinate der Lösung als Funktion der y-Koordinate aus (oder umgekehrt).
