Berechnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung L ⊆ ℂ

Question

Hi,

bräuchte Hilfe bei der Aufgabe:

Hab schon mit dem Ansatz a+bi und Substitution angesetzt aber irgendwie kriege ich da nur ellenlange Terme raus von daher denke ich nicht dass das die Lösung dazu sein kann.

Berechnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung L ⊆ ℂ:

$$ 2zRe(z)+\quad 2\overline { z } Im(z)\quad =\quad z²\quad +\quad 1 $$

Wobei mit $$ \overline { z }  $$ das komplex-konjugierte von z gemeint ist.

Answer 1

2zRe(z)+2z_Im(z)=z^2+1

Ich würde auch den Ansatz z=a+bi wählen

2*(a+bi)*a+2*(a-bi)*b=a^2+2iab-b^2+1

2a^2+2iab+2ab-2ib^2=a^2+2aib-b^2+1

a^2+2ab-2ib^2=2iab-b^2+1

Vergleich Real und Imaginärteil:

a^2+2ab=1-b^2 --> (a+b)^2=1 --> a=1-b,-1+b

-2b^2=2ab 

--> b=0

a=1,a=-1

z=±1

Answer 2

Berechnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung L ⊆ ℂ