Wahrscheinlichkeit k Kinder zu bekommen bei p 0.5 und bis 1 Junge auftritt

Question

wie gehe ich an folgende Aufgabe ran:

In kurz: Stoppen des Bevölkerungswachstum -> Kinderanzahl beschränken. Man darf solange Kinder bekommen bis erster Sohn kommt.

Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Familie k Kinder hat? Wahrscheinlichkeit für Mädchen: 0.5

(Vollständige Aufgabe: 9.3, https://lionel.kr.hs-niederrhein.de/~dalitz/data/lehre/STA/ueb09.pdf )

Ich habe mir erst die Binomialverteilungsformel angeguckt, aber dann gemerkt, dass ich kein n habe und denke daher, dass ich mit der geometrischen Verteilungsfunktion arbeiten muss: P(X=k) = (1-p)^{k-1}  * p

Aber was soll ich da für k einsetzen, es ist doch nach einer variablen k gefragt? Dann dachte ich vielleicht an:

P(X>=1) = 1-P(X=1) -> 0.5  wäre das die richtige Lösung? Und müsste ich P(X=0) auch abziehen, weil irgendwo hab ich gelesen, dass P(X=0) immer 0 ist, bei der Definition der Funktion, oder hab ich mich verlesen?

, viele Grüße

Can

Answer 1

P(X = 0) = 0

P(X = 1) = 1/2

P(X = 2) = (1/2)^2

P(X = 3) = (1/2)^3

P(X = k) = (1/2)^k

E(X) = ∑ (k = 0 bis ∞) (k·(1/2)^k) = 2