2 Kinder, mindestens 1 ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind auch ein Junge ist?

Question

Ich brüte gerade über 2 Fragen nach, die mir irgendwie zu einfach vorkommen.

1) Eine Mutter hat 2 Kinder, mindestens 1 davon ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind auch ein Junge ist?

2) Von dem Jungen der Mutter wissen wir nun zusätzlich, dass er an einem Donnerstag geboren ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind auch ein Junge ist?

Meine Ansätze:

1) Das Geschlecht des zweiten Kindes ist unabhängig von dem des ersten Kindes, daher meine ich, müsste die Antwort 50% sein.

2) Was soll der Wochentag für einen Einfluss auf das Geschlecht des Kindes haben? Daher würde ich auch hier die Antwort 50% geben.

Liege ich da richtig?

Answer 1

Aloha :)

Hier musst du vorsichtig sein, weil es sich um bedingte Wahrscheinlichkeiten handelt. Die zusätzlichen Informationen, die du hast, beeinflussen die Wahrscheinlichkeit.

zu 1)

Wenn man davon ausgeht, dass das Verhältnis von Jungs (J) zu Mädchen (M) 50:50 ist, dann gibt es bei zwei Kindern die 4 gleichwahrscheinlichen Varianten: JJ, JM, MJ, MM. Die Variante MM fällt aber weg, weil wir ja bereits wissen, dass ein Kind ein Junge ist. Also bleiben 3 Varianten übrig: JJ, JM, MJ. Nur in einer dieser Varianten gibt es zwei Jungs, also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{3}\).

zu 2)

1. Fall: Das erste Kind ist J-Do. Für das zweite Kind gibt es dann 14 Varianten:

M-Mo, M-Di, M-Mi, M-Do, M-Fr, M-Sa, M-So, J-Mo, J-Di, J-Mi, J-Do, J-Fr, J-Sa, J-So

In 7 von den 14 Varianten ist das zweite Kind auch ein Junge.

2. Fall: Das zweite Kind ist J-Do. Für das erste Kind gibt es dann noch 13 Varianten, denn der Fall, dass beide Kinder J-Do sind, wurde bereits im 1. Fall bedacht und darf nicht doppelt gezählt werden:

M-Mo, M-Di, M-Mi, M-Do, M-Fr, M-Sa, M-So, J-Mo, J-Di, J-Mi, J-Fr, J-Sa, J-So

In 6 von den 13 Varianten ist das erste Kind auch ein Junge.

Insgesamt gibt es also 27 mögliche Varianten und in 13 davon ist das andere Kind auch ein Junge. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also \(\frac{13}{27}\).

Comments

Hallo TK,

  Wahrscheinlichkeitsaufgaben verwirren mich
mitunter.

  deine Aussagen

  1.) Ohne weiteren Angaben beträgt die Wahrscheinlicheit für einen 2.Jungen 1/3.

  2.) Mit Zusatzangabe des Wochentags des Donnerstagskindes erhöht sich  sich die Wahrscheinlichkeit auf 13/27. Diese Ausage trifft auf jeden beliebigen Wochtag zu. Wie das ?

 3.) Man kanns noch weiter treiben. Der Junge ist
an einem bekannten Datum geboren. Die
Wahrscheinlichkeit für einen 2.Buben ist dann sicherlich etwa 182 / 365.

  4.) Die Wahrscheinlichkeit erhöht sich Laufe
der Argumentation auf 0.5 oder 50 %.

  mfg Georg

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Du hast Recht, weil TK das Wort "dem" in der zweiten Bedingung nicht berücksichtigt hat.

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Vielen Dank für die prima Erklärung, ich habe das am Computer simuliert und bekomme da die Werte 0.3333 und 0.4815 raus. Das passt ziemlich gut zu den theoretischen Werten aus der Erklärung.

Answer 2

Hallo vold,

Ich bin für 50 % Wahrscheinlichkeit.

Beispiel
Zwei Münzen mit den Seiten M und J werden solange
geworfen bis mindestens einmal J geworfen wird.
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 - mal J ist 1.

Diese Münze wird weggelegt.

Die andere Münze hat die Wahrscheinlichkeit
50 % J
und
50 % M

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal J ist also 50 %.

mfg Georg

Comments

Tschakabumba,
hast hältst du von meiner Argumentation bei
Aufgabe 1.) ?

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Auch wenn nicht an mich gerichtet:

Du wirfst die Münzen bis mindestens ein Junge da liegt, also bis du entweder JM, MJ, oder JJ hast. Wenn du dann ein J wegnimmst, liegt nur in einem von drei Fällen noch ein weiteres J auf dem Tisch. Du wirfst die zweite Münze ja nicht nochmal.

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Die Frage ist ob MJ und JM nicht als ein
Fall anzusehen ist denn :
Ich werfe zwei Münzen bis mindestens 1 mal J vorhanden ist
Dann sortiere ich den Wurf zu
M J zu J M
J M
J J

es bleibt
J M
und
J J

Das erste J wird fortgenommen.
Übrig bleiben
M
oder
J

mfg Georg

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Wenn du die Münzen nicht unterscheidest (ohne Reihenfolge), dann musst du aber berücksichtigen, dass das Ereignis JM wahrscheinlicher ist, als das Ereignis JJ.

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Die Mutter hat genau 2 Kinder. Daher darfst du die 2 Münzen nur genau 1-mal werfen. Sonst bekommt die Mutter mit jedem "Wurf" noch 2 Kinder dazu. Und vom Ausgang des einen möglichen Wurfs weißt du bereits sicher, dass mindestens eine Münze "J" zeigen wird. Von den 4 möglichen Ergebnissen JJ, JM, MJ, MM fällt der Fall MM daher weg. Bleiben 3 mögliche Ausgänge der Zufallsexperiments, aber nur ein günstiger Ausgang (JJ).

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Meiner Meinung nach " nein ".
Bei deiner Lösung kommt heraus
1) ohne weiteren Zusatzangaben : 1/3
2.) mit Angabe eines Wochentages. 13/27
Da der Wochentag völlig wurscht ist gilt die
Wahrscheinlichkeit für jeden Wochtag.
3.) Bei der Angabe eines Monats erhöht sich
die Wahrscheinlichkeit noch mehr.
4.) bei der Angabe eines Jahrestags ( z.B. 144 zigster
Tag ) noch mehr.
Wie soll diese Erhöhung zustande kommen ?
Das kann nicht sein.

mfg Georg

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Aloha Georg :)

Das Prinzip ist, dass mit jeder weiteren Eigenschaft ein Unterscheidungsmerkmal hinzu kommt. Dadurch gibt es mehr Möglichkeiten, die beiden Kinder voneinander zu unterscheiden.

Im ersten Beispiel war die Eigenschaft J eines Kindes gesetzt. Von den 4 möglichen Ergebnissen MM, JM, MJ und JJ müssen also alle gestrichen werden, die nicht wenigstens ein J enthalten. Das heißt MM fällt weg, und es gibt nur noch 3 mögliche Ausgänge des Zufallsexperiments, von denen nur in 1 Fall zwei Jungs da sind.

Im zweiten Beispiel ist die Eigenschaft J-Do eines Kindes gesetzt. Durch das neue Merkmal "Wochentag" gibt es nun zunächst 196 mögliche Ausgänge des Zufallsexperimentes. Wir müssen aber alle diejenigen streichen, in denen nicht wenigstens 1-mal "J-Do" vorkommt:

J-Mo + { J-Mo J-Di J-Mi J-Do J-Fr J-Sa J-So } => 1 Kombi / JJ

J-Di + { J-Mo J-Di J-Mi J-Do J-Fr J-Sa J-So } => 1 Kombi / JJ

J-Mi + { J-Mo J-Di J-Mi J-Do J-Fr J-Sa J-So } => 1 Kombi / JJ

J-Do + { J-Mo J-Di J-Mi J-Do J-Fr J-Sa J-So } => 7 Kombis / JJ

J-Fr + { J-Mo J-Di J-Mi J-Do J-Fr J-Sa J-So } => 1 Kombi / JJ

J-Sa + { J-Mo J-Di J-Mi J-Do J-Fr J-Sa J-So } => 1 Kombi / JJ

J-So + { J-Mo J-Di J-Mi J-Do J-Fr J-Sa J-So } => 1 Kombi / JJ

J-Mo + { M-Mo M-Di M-Mi M-Do M-Fr M-Sa M-So } => 0 Kombis

J-Di + { M-Mo M-Di M-Mi M-Do M-Fr M-Sa M-So } => 0 Kombis

J-Mi + { M-Mo M-Di M-Mi M-Do M-Fr M-Sa M-So } => 0 Kombis

J-Do + { M-Mo M-Di M-Mi M-Do M-Fr M-Sa M-So } => 7 Kombis | JM

J-Fr + { M-Mo M-Di M-Mi M-Do M-Fr M-Sa M-So } => 0 Kombis

J-Sa + { M-Mo M-Di M-Mi M-Do M-Fr M-Sa M-So } => 0 Kombis

J-So + { M-Mo M-Di M-Mi M-Do M-Fr M-Sa M-So } => 0 Kombis

M-Mo + { J-Mo J-Di J-Mi J-Do J-Fr J-Sa J-So } => 1 Kombi / MJ

M-Di + { J-Mo J-Di J-Mi J-Do J-Fr J-Sa J-So } => 1 Kombi / MJ

M-Mi + { J-Mo J-Di J-Mi J-Do J-Fr J-Sa J-So } => 1 Kombi / MJ

M-Do + { J-Mo J-Di J-Mi J-Do J-Fr J-Sa J-So } => 1 Kombi / MJ

M-Fr + { J-Mo J-Di J-Mi J-Do J-Fr J-Sa J-So } => 1 Kombi / MJ

M-Sa + { J-Mo J-Di J-Mi J-Do J-Fr J-Sa J-So } => 1 Kombi / MJ

M-So + { J-Mo J-Di J-Mi J-Do J-Fr J-Sa J-So } => 1 Kombi / MJ

M-Mo + { M-Mo M-Di M-Mi M-Do M-Fr M-Sa M-So } => 0 Kombis

M-Di + { M-Mo M-Di M-Mi M-Do M-Fr M-Sa M-So } => 0 Kombis

M-Mi + { M-Mo M-Di M-Mi M-Do M-Fr M-Sa M-So } => 0 Kombis

M-Do + { M-Mo M-Di M-Mi M-Do M-Fr M-Sa M-So } => 0 Kombis

M-Fr + { M-Mo M-Di M-Mi M-Do M-Fr M-Sa M-So } => 0 Kombis

M-Sa + { M-Mo M-Di M-Mi M-Do M-Fr M-Sa M-So } => 0 Kombis

M-So + { M-Mo M-Di M-Mi M-Do M-Fr M-Sa M-So } => 0 Kombis

Durch Nachzählen findet man, dass durch die Bedingung, dass (mindestens) ein Kind J-Do sein muss, nur noch 27 Kombinationen übrig bleiben und nur in 13 davon (der oberste Block) finden sich 2 Jungs. Also ist die Wahrscheinlichkeit für 2 Jungs \(\frac{13}{27}\).

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Praktischer Tip mit etwas Zusammenhang mit
der Frage.
Was kann der Mathematiker machen falls er vor einer Flugreise Angst hat im Flugzeug könnte eine Bombe versteckt sein?
Er nimmt auch eine Bombe mit.
Die Wahrscheinlichkeit das in einem Flugzeug 2 Bomben sind ist nahezu null.

Überlegung für Außemstehende
Wahrscheinlichkeit einer Bombe 1 / 10^6
Wahrscheinlichkeit für 2 Bomben 1/10^6 * 1/10^6

Wahrscheinlichkeit für den Mathematiker
Die 2.Bombe hat für ihn die Wahrscheinlichkeit 1.
Deshalb erhöht sich die Wahrscheinlichkeit nicht
und bleibt bei 1 * 1/10^6

Zu Sachverhalt Kinder :
Der bekannte Sachverhalt 1 Junge ist gegeben
und braucht nicht mehr berücksichtigt werden.
Das 2.Kind ist entweder ein Junge oder Mädchen.
Beides zu 50 % Wahrscheinlichkeit.
Diese Wahrscheinlichkeit wird nicht beeinflußt
durch den Wochentag der Geburt des bekannten Jungen, noch Monatsdatum, noch Datum der Geburt oder sonstwas.

Die Rangfolge JM oder MJ ist auch egal und wird als
1 Fall angesehen.

mfg Georg

Tip des Tages
Wenn du es eilig hast dann gehe langsam.

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Ich habe eine Münze 200 mal geworfen
99 mal kam Kopf
101 mal kam Zahl

in 79 Fällen entsprach die 2.Münze
der 1.Münze
in 78 Fällen entsprach die 2.Münze
der 1.Münze nicht.

Übertragen auf die Junge - Mädchen Frage
Die Wahrscheinlichkeit das der Junge
einen weiteren Jungen als Geschwister hat
ist 50 %.

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Bei der Brüder-Aufgabe geht es um bedingte Wahrscheinlichkeiten. In deinem Zufallsexperiment, 200-mal Münze werfen, tauchen aber gar keine bedingten Wahrscheinlichkeiten auf.

Ich habe hier in dem Kommentar-Thread alle 196 Fälle explizit betrachtet und alle die ausgeschlossen, wo nicht wenigstens ein J-Do Kind dabei war. Das Ergebnis war eine Wahrscheinlichkeit von \(\frac{13}{27}\). Mehr als alle Fälle aufzählen und die Wahrscheinlichkeit (Anzahl der günstigen Ausgänge durch Anzahl der möglichen Ausgänge) aufführen, kann ich nicht mehr tun.

Answer 3

2) Von dem Jungen der Mutter wissen wir nun zusätzlich, dass er an einem Donnerstag geboren ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind auch ein Junge ist?

Dann ist es Null Prozent. "dem Jungen" heisst, dass diese Mutter genau einen Jungen hat. Das andere Kind ist dann sicher kein Junge.

Comments

So habe ich das sicher nicht gemeint.

Von dem Jungen heißt: von demjenigen, der in Teil 1) erwähnt wurde.
Und damit ist TKs Antwort für Teil 2) falsch.

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Sollte deutlicher so heißen :

Von dem Jungen heißt: von demjenigen Kind, das in Teil 1) erwähnt wurde.
Und damit ist TKs Antwort für Teil 2) falsch.

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Ich habe die zweite Frage so interpretiert und beantwortet, dass wir nun wissen, dass die Mutter mindestens einen Jungen hat, der an einem Donnerstag geboren wurde. Würde man das "dem" so interpretieren, dass die Mutter genau einen Jungen hat, wäre die zweite Aufgabe sinnfrei.

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Meinst du vielleicht, dass der Wochentag für das zweite Kind unbestimmt ist?

Dann wären die Möglichkeiten mit Reihenfolge ja (J-Do,J),(J-Do,M),(J,J-Do),(M,J-Do) und die Whk für einen zweiten Jungen 50%? Beide Lösungen erschließen sich mir nicht wirklich intuitiv...

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Dein Vorschlag (J-Do,J), (J-Do,M), (J,J-Do), (M,J-Do) kam mir auch direkt in den Sinn. Aber beim Schreiben der Antwort wurde ich stutzig bei (J-Do,J) und (J,J-Do). Dabei wird der Fall (J-Do,J-Do) doppelt gezählt. Daher habe ich in meiner Antwort die Fallunterscheidung gemacht und den Fall (J-Do, J-Do) nur im 1. Fall berücksichtigt. Dann passte alles wieder zusammen.

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Da gehst du jetzt aber wieder davon aus, dass du den Wochentag für den zweiten Jungen kennst. Wenn dies nicht der Fall ist, ist J-Do klar unterscheidbar von nur J - selbst wenn er Donnerstags geboren sein sollte, wir wissen es bei ihm aber nicht, damit ist er unterscheidbar von dem Jungen. Alternativ kann man sich ja vorstellen, dass der Junge Max heißt (und die Mutter nicht beide Kinder gleich nennt).

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1. Fall: Der erste Kind ist J-Do, das zweite Kind ist belibeig.

Es gibt 14 Möglichkeiten für das zweite Kind {M-Wochentage} und {J-Wochentage}, weil wir den Geburtstag des zweiten Kindes nicht kennen und daher alle Tage betrachten müssen. Dann ist es so, wie du sagst, dass die Wahrscheinlichkeit 50% ist.

2. Fall: Das erste Kind ist nicht J-Do, das zweite Kind muss also J-Do sein.

Es gibt jetzt nur noch 13 Möglichkeiten für das erste Kind, weil dieses ja nicht J-Do ist. In diesem Fall gibt es also 13 mögliche Ausgänge, aber nur in 6 davon ist das erste Kind ein Junge.

Der 1. Fall enthält die mögliche Kombination (J-Do, J-Do) bereits, sie darf im 2. Fall nicht erneut mitgezählt werden.

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Meiner Meinung nach ist (J-Do-bekannt, J-Do-unbekannt) unterscheidbar zu (J-Do-unbekannt, J-Do-bekannt) und muss daher doppelt gezählt werden.

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Im Fall (J-Do,J-Do) weißt du aber doch nicht, welcher der mindestens eine Junge ist, von dem in der Aufgabenstellung die Rede ist, es könnte der erste oder der zweite sein. Es heißt ja nicht, dass der erste Junge J-Do ist, sondern dass mindestens ein Junge J-Do ist. Es gibt daher kein "bekannt"-Attribut.

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Die Annahme, dass die Geburtstage der Kinder eine Beobachtbare Eigenschaft sind, ist nicht weit hergeholt und ich würde vermuten, dass das auch im Sinne des Fragestellers ist. Insofern stimme ich mit deiner Lösung ja durchaus überein (auch wenn das Ergebnis schwer nachvollziehbar ist).

Mein Vorschlag versuchte aber hj2166s Einwand zu ergründen und geht davon aus, dass nur das eine Kind einen Zettel auf der Stirn zu kleben hat, der sagt dass es Donnerstags Geburtstag hat, während wir den Geburtstag des anderen Kindes nicht kennen. :)

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Die Klärung aller Fragen geht folgendermaßen :

Frau Lehmann und Frau Müller treffen sich.

1. Fall :
Frau Lehmann :  Ich habe zwei Kinder, A und B.
   Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Jungen ?
Frau Müller : 1/4

2. Fall :
Frau Lehmann :  Ich habe zwei Kinder, A und B.
   Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist darunter ein Junge ?
Frau Müller : 3/4

3. Fall :
Frau Lehmann :  Ich habe zwei Kinder, A und B.
   Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist B ein Junge ?
Frau Müller : 1/2

4. Fall :
Frau Lehmann :  Ich habe zwei Kinder, A und B. A ist ein Junge.
   Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist B (auch) ein Junge ?
Frau Müller : 1/2

5. Fall :
Frau Lehmann :  Ich habe zwei Kinder, A und B. Eines davon ist ein Junge.
   Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist B ein Junge ?
Frau Müller : 2/3

6. Fall :
Frau Lehmann :  Ich habe zwei Kinder, A und B. Eines davon ist ein Junge.
   Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch ein Junge ?
Frau Müller : 1/3

7. Fall :
Frau Lehmann :  Ich habe zwei Kinder, A und B. Eines davon ist ein Junge.
  Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch ein Junge ?
Frau Müller : Das hatten wir doch schon im 6. Fall : 1/3
Frau Lehmann : Dann gebe ich Ihnen die zusätzliche Information,
   dass dieser von mir erwähnte Junge am Donnerstag geboren wurde.
Frau Müller : Daraus kann ich nichts zusätzlich schließen,
   weil jeder Tag gleichwertig ist, es bleibt bei 1/3.

8. Fall :
Frau Lehmann :  Ich habe zwei Kinder, A und B. Eines davon ist ein Junge, der an
   einem Donnerstag geboren wurde.
   Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch ein Junge ?
Frau Müller : 13/27

Alle Müller'schen Antworten ergeben sich aus Baumdiagrammen, Vierfelder-Tafeln oder der Bayes-Formel.

Der Fragesteller hatte bei Aufgabe 1) offenbar den 4.Fall im Kopf, obwohl der 6.Fall gefragt war.

TK hat für Aufgabe 2) den 8.Fall beantwortet, obwohl sich der 7.Fall aus dem Aufgabentext ergibt (wie gb richtig erkannte), der aber vielleicht nicht korrekt zitiert wurde.

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Oha, was hat meine Frage denn hier für eine riesige Diskussion losgetreten? Erstmal vielen Dank an alle, die hier so intensiv diskutieren. Tschakabumba hat die Aufgabe so interpretiert, wie sie gemeint war. Ich hatte die Frage aus dem Kopf heraus "sinngemäß" gestellt. Konkret lautete die 2-te Aufgabe:

"Eine Frau hat zwei Kinder. Mindestens eins davon ist ein Junge, der an einem Donnerstag geboren wurde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind?"

Das wäre Fall 8 von Gast hj2166.

Sorry für die Verwirrung, die ich damit gestiftet habe.

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Hier an der Diskussion beteiligen sich Leute
die Interesse daran haben sich mit dem
Sachverhalt auseinanderzusetzen.
Von daher hast du für positive Kurzweil gesorgt.