Wahrscheinlichkeit Augensumme Würfeln (10 oder 9)?

Question

folgende Aufgabe verstehe ich einfach nicht:


Eine Aufgabe aus den Anfängen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die folgende: Welche Augensumme ist beim Würfeln von 3 Laplace Würfeln wahrscheinlichher?: die Augensumme 10 oder 9?


und eine kleine frage allgemein zu Wahrscheinlichkeit bei Laplace würfeln:

wenn die würfel NICHT unterscheidbar sind, dann zähle ich doch die Würfelereignisse nicht doppelt oder? also bei 2 Würfel zb 1,6 und dann nicht nochmal 6,1?

Comments

Hi, zum einen lese ich in der Aufgabe nichts von "nicht unterscheidbar", zum anderen ignoriere es, wenn es doch einmal da stehen sollte. Es vereinfacht die Betrachtung, wenn die Würfel als unterscheidbar angenommen oder einfach nacheinander geworfen werden.

Answer 1

Zur kleinen Frage am Schluss: 

Doch, die Würfelereignisse werden doppelt gezählt: 

Wenn man z.B. mit zwei Würfeln würfelt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Augensumme von 9 zu erreichen, 4/36.

Denn es gibt 36 mögliche Kombinationen (1-1, 1-2, 1-3, ..., 6-4, 6-5, 6-6), wovon 3-6, 4-5, 5-4 und 6-3 günstige Ereignisse (also Summe 9) darstellen, also 4 von 36. 

 

Würfeln von 3 Laplace-Würfeln, was ist wahrscheinlicher? Augensumme 9 oder 10?

Es gibt insgesamt 6*6*6 = 216 Kombinationen. 

Für die Augensumme 9 sind günstig: 

(1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (1,5,3), (1,6,2), (2,1,6), (2,2,5), (2,3,4), (2,4,3), (2,5,2), (2,6,1), (3,1,5), (3,2,4), (3,3,3,) (3,4,2), 

(3,5,1), (4,1,4), (4,2,3), (4,3,2), (4,4,1), (5,1,3), (5,2,2), (5,3,1), (6,1,2), (6,2,1)

Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Laplace-Würfeln die Augensumme 9 zu erhalten: 

25/216

Für die Augensumme 10 sind günstig: 

(1,3,6), (1,4,5), (1,5,4), (1,6,3), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4), (2,5,3), (2,6,2), (3,1,6), (3,2,5), (3,3,4), (3,4,3), (3,5,2), (3,6,1),

(4,1,5), (4,2,4), (4,3,3), (4,4,2), (4,5,1), (5,1,4), (5,2,3), (5,3,2), (5,4,1), (6,1,3), (6,2,2), (6,3,1)

Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Laplace-Würfeln die Augensumme 10 zu erhalten: 

27/216

 

Ich hoffe, ich habe keine Kombination vergessen :-))

Comments

Danke für die schnell Antwort,

ich habe für die Augensumme 9 folgende Ergeignisse

(117) (126) (135) (144) (225) (234) (261) (333) (351)

und jetzt kann ich die Ereignisse ja jeweils noch 6 mal umstellen als bei 126 --> 162, 621,612, 216, 261

also habe ich 9*6 gerechnet = 54 und dann 54/216=324


und dann die 324 durch die mögliche Kombinationen = 729
324/729=0,4


stimmt meine Überlegung

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Deine Überlegungen enthalten etliche Fehler. Einer davon besteht darin, dass Du offenbar davon ausgehst, jedes Tripel könne in sechs verschiedenen Reihenfolgen gewürfelt werden. Das stimm aber nicht. Zum Beantworten der Aufgabe benötigt man diese Überlegungen ohnehin nicht.

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also heute hat man mir gesagt, dass die Ereignisse (egal ob die Würfel unterscheidbar oder nicht unterscheidbar sind) zb die Würfel ereignisse (5,1) (1,5) beide gezählt werden.

und dann bei (1,2,6)  162, 621,612, 216, 261

bei 116 hingegen es aber nur 3 Möglichkeiten gibt (116) (161) (611) 

 

stimmt das jetzt?

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Stimmt was jetzt?

111 eine Möglichkeit,
112, 121,211 drei Möglichkeiten und
123, 132, 213, 231, 312, 321 sechs Möglichkeiten.

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Das sieht gut aus!

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also das meinte ich dass ich eben nach allen ereignisse suche bei denen ich die Augensumme 9/10 habe und dann zb bei (162) dann gleich weiß dieses Ziffernpaar hat schonmal 6 Möglichkeiten?

Answer 2

Es ist egal. Laplace-Experiment heißt ja, dass alle Wahrscheinlichkeiten gleich verteilt sind...

Answer 3

Eine Aufgabe aus den Anfängen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die folgende: Welche Augensumme ist beim Würfeln von 3 Laplace Würfeln wahrscheinlicher?: die Augensumme 10 oder 9?

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße "Augensumme der drei Würfel" ist symmetrisch zu ihrem Erwartungswert 3 mal 3,5 gleich 10,5. Links davon ist sie streng monoton steigend, Augensumme 10 ist also wahrscheinlicher als Augensumme 9.