Aloha :)
Die Summe der ersten beiden Würfe können wir tabellarisch darstellen:$$\begin{array}{c||cccccc|}\hline + & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\\hline\hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\\hline 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\\hline 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\\hline 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\\hline 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\\hline 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\\hline\end{array}$$
Nun können wir uns das Ergebnis des dritten Wurfs ansehen und schauen, wie oft \(9\) oder \(10\) als Gesamtsumme auftaucht:
1) Wurf 3 ist eine \(1\):
Es fehlt eine \(8\) als Augensumme bis zur \(9\) \(\;\,\implies p_1(9)=\frac{5}{36}\)
Es fehlt eine \(9\) als Augensumme bis zur \(10\) \(\implies p_1(10)=\frac{4}{36}\)
2) Wurf 3 ist eine \(2\):
Es fehlt eine \(7\) als Augensumme bis zur \(9\) \(\;\,\implies p_2(9)=\frac{6}{36}\)
Es fehlt eine \(8\) als Augensumme bis zur \(10\) \(\implies p_2(10)=\frac{5}{36}\)
3) Wurf 3 ist eine \(3\):
Es fehlt eine \(6\) als Augensumme bis zur \(9\) \(\;\,\implies p_3(9)=\frac{5}{36}\)
Es fehlt eine \(7\) als Augensumme bis zur \(10\) \(\implies p_3(10)=\frac{6}{36}\)
4) Wurf 3 ist eine \(4\):
Es fehlt eine \(5\) als Augensumme bis zur \(9\) \(\;\,\implies p_4(9)=\frac{4}{36}\)
Es fehlt eine \(6\) als Augensumme bis zur \(10\) \(\implies p_4(10)=\frac{5}{36}\)
5) Wurf 3 ist eine \(5\):
Es fehlt eine \(4\) als Augensumme bis zur \(9\) \(\;\,\implies p_5(9)=\frac{3}{36}\)
Es fehlt eine \(5\) als Augensumme bis zur \(10\) \(\implies p_5(10)=\frac{4}{36}\)
5) Wurf 3 ist eine \(6\):
Es fehlt eine \(3\) als Augensumme bis zur \(9\) \(\;\,\implies p_6(9)=\frac{2}{36}\)
Es fehlt eine \(4\) als Augensumme bis zur \(10\) \(\implies p_6(10)=\frac{3}{36}\)
Damit erhalten wir als Gesamtwahrscheinlichkeiten für eine \(9\) bzw. eine \(10\):
$$p(9)=\frac{p_1(9)+p_2(9)+p_3(9)+p_4(9)+p_5(9)+p_6(9)}{6}=\frac{25}{216}$$$$p(10)=\frac{p_1(10)+p_2(10)+p_3(10)+p_4(10)+p_5(10)+p_6(10)}{6}=\frac{27}{216}$$
Die Augensumme \(10\) ist also tatsächlich wahrscheinlicher als die Augensumme \(9\).
