Ist die Zahlenfolgen (a_(n)) = n^! / ( n+1) monoton, beschränkt? Konvergiert sie?

Question

Könnt ihr mir bei dieser Zahlenfolgen-Aufgabe helfen? 

 

ikönnt ihr mir mit dieser Aufgabe helfen? :)

Answer 1

a)

an+1 / an = (n^2 + 2·n + 1)/(n + 2) = n + 1/(n + 2)

Streng monoton steigend

b)

Nach unten beschränkt durch a1

c)

die Folge ist nicht konvergent sondern divergent, siehe auch a)

Comments

aber wir kommt man von n²+2n+1/n+2 auf n+1/n+2??

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Polynomdivision schon mal gehört ?

Eventuell unter https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision vormachen lassen.

Answer 2

an=n!/(n+1)

a)an+1-an=(n+1)!/(n+2)-n!/(n+1)>=(n+1)/(n+2)-1/(n+1)

=(n^2+n-1)/(n+1)*(n+2)>=0 weil der Zähler minimal 0 ist (für n=1) und der Nenner immer positiv ist.

Daraus folgt monoton wachsend.

b) eine untere Schranke ist 0, weil alle Faktoren positiv sind, eine obere Schranke gibt es es nicht, da für große n gilt n!=n(n-1)(n-2)...>=n*(n-1) und somit die Folge unbegrenzt wächst.

c) die Folge divergiert, da sie monoton wächst und und nach oben unbeschränkt ist.