Der Graph einer Polynomfunktion 4. Grades hat im Koordinatenursprung einen Sattelpunkt und im Punkt P\((2|-12)\) die Steigung \(m= -20\).
Sattelpunkt im Ursprung bedeutet 3fache Nullstelle:
\(f(x)=ax^3(x-N)=a(x^4-Nx^3)\)
\(f'(x)=a(4x^3-3Nx^2)\)
Hat in P\((2|...)\) die Steigung \(m= -20\)
\(f'(2)=a(32-12N)=-20\)
\(a=\frac{5}{3N-8}\)
\(f(x)=\frac{5}{3N-8}(x^4-Nx^3)\)
P\((2|-12)\)
\(f(2)=\frac{5}{3N-8}(16-8N)=-12\)
\(N=-4\) \(a=-\frac{1}{4}\)
\(f(x)=-\frac{1}{4}(x^4+4x^3)\)
Nullstellen bei \( x=-4\) und bei \(x=0\)
Extrempunkte :
\(f'(x)=-\frac{1}{4}(4x^3+12x^2)\)
\(x^3+3x^2=0\) \(x^2(x+3)=0\)
\(x_1=0\) \(y_1=0\)
\(f''(x)=-\frac{1}{4}(12x^2+24x)\)
\(f''(0)=0\) Hier ist somit kein Extrempunkt
\(\frac{1}{4}(12x^2+24x)=0\)
\(3x^2+6x)=0\) \(x^2+2x)=0\)
1. Wendepunkt bei \(x=0 \) \(f'(0)=0\) ist Sattelpunkt
2. Wendepunkt bei \(x=-2\)
