Gegeben sind die Gerade durch zwei Punkte A und B, sowie die Funktion f. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkt C

Question

Gegeben sind die Gerade die durch zwei Punkte A (4/1) und B (8/-3) geht, sowie die Funktionenschar f : |--> 0,25x² + x - 1,25. Die Gerade berührt eine der Parabeln für K > 0 im Punkt C. Berechnen Sie den Wert von k und die Koordinaten von C. 

Zwischenergebnis: D=k² - 2k -8 = (k+4)(k-2) =0

Comments

Gegeben sind die Gerade die durch zwei Punkte A (4/1) und B (8/-3) geht, sowie die Funktionenschar f : |--> 0,25x² + x - 1,25.

Welches  k  soll denn hier  > 0  sein?

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Und wo ist k? :P

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Pardon, ich bitte darum die oben angegebene Gleichung zu vergessen und folgende zu verwenden:

F: x|---> -0,25x² + kx - 4

Answer 1

Hi,

Für die Gerade:

1 = 4m + c

-3 = 8m + c

Beides nach c auflösen und gleichsetzen:

1-4m = -3-8m

m = -1 und damit c = 5

Die gerade lautet:

y = -x + 5

Nun sollst Du nen Berührpunkt zwischen Gerade und Parabel finden, also gleichsetzen und nach einer doppelten Nullstelle suchen:

- x + 5 = -0,25*x^2 + k*x - 4

-0,25*x^2 + (k+1)x - 9 = 0            |*(-4)

x^2 - 4(k+1)x + 36 = 0                       |pq-Formel

x_(1,2) = 2(k+1) ±√((2(k+1))^2 - 36)

Nur die Diskriminante berechnet, da wir diese Nullsetzen müssen um eine doppelte Nullstelle zu erhalten und damit einen Berührpunkt:

(2k+2)^2 - 36 = 4k^2 + 8k + 4 - 36 = 4k^2 + 8k - 32   |:4

k^2 + 2k - 8 = 0                     |pq-Formel

k_(1) = -4

k_(2) = 2

An ersterem sind wir nicht interessiert, da k > 0 gelten soll, also ist das Ergebnis k = 2.

Damit noch den x-Wert (Schnittstelle) ausrechnen und in die Gerade einsetzen -> liefert C(6|-1).

Grüße

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Besser kann mans nicht erklären.

Answer 2

g(x) = (-3 - 1)/(8 - 4) * (x - 4) + 1 = 5 - x

f(x) = - 0.25·x^2 + k·x - 4

Berührpunkt f(x) = g(x)

- 0.25·x^2 + k·x - 4 = 5 - x

x = 2·k + 2 ± 2·√(k^2 + 2·k - 8)

k^2 + 2·k - 8 = 0 --> k = 2

x = 2·2 + 2 = 6

g(6) = 5 - 6 = - 1

f(6) = - 0.25·6^2 + 2·6 - 4 = -1

C(6 | -1)