Varianz aus Erwartungswert berechnen V(X) = E(x)*E(1-X)

Question

wir müssen als Hausaufgabe dieses hier beweisen.

$$ X\quad :\quad \Omega \quad \rightarrow \quad R\quad \\ \\ Beweisen\quad sie:\quad Wenn\quad X(\Omega )\quad =\quad \left\{ 0,1 \right\} \quad gilt,\quad dann\\ \\ V(X)\quad =\quad E(X)*E(1-X). $$

Mir ist klar wie sich der Erwartungswert und Varianz berechnen lassen, hab aber kein Plan wie ich dieses hier beweisen soll. Ein Idee an der ich weiterarbeiten kann reicht völlig.

Danke

Comments

X kann ja nur die Werte 1 und 0 annehmen. Nennen wir 1 Erfolg und 0 Misserfolg.

Sei P(Erfolg, also 1) = p, dann ist P(Misserfolg, also 0) = (1-p) und

Dann ist E(X) = 1*p + 0*(1-p) = p

und E(1 - X) = (1-1)*p + (0-1)*(1-p) = 0*p - 1 + p = p-1

Und E(X^2) = p^2  * 1 + (1-p^2) * 0 = p^2

Nun V(X) = E(X^2)  - (E(X))^2 =  p^2  - p^2 = 0. Das kann ja eigentlich nicht sein (?). 

Vergleich mit Behauptung

E(X) * E(1-X) = p (p-1) = p^2 - p

Irgendwo ist nun hier noch ein Fehler drin.

Kontrolliere mal meine Rechnung und ev. auch mal noch die Behauptung.

Answer 1

Revidierte Fassung meines Kommentars: 

X kann ja nur die Werte 1 und 0 annehmen. Nennen wir 1 Erfolg und 0 Misserfolg.

Sei P(Erfolg, also 1) = p, dann ist P(Misserfolg, also 0) = (1-p) und

Dann ist E(X) = 1*p + 0*(1-p) = p

und E(1 - X) = (1-1)*p + (0-1)*(1-p) = 0*p - 1 + p = p-1

Und E(X²) = p  * 1 + (1-p) * 0 = p  .   

Grund: Die Wahrscheinlichkeit, dass X^2 = 1 ist gleich gross, wie die Wahrscheinlichkeit, dass X = 1 ist, weil 1^2 = 1 und P(1) = p. 

Nun V(X) = E(X²)  - (E(X))² =  p²  - p.

Vergleich mit Behauptung

E(X) * E(1-X) = p (p-1) = p² - p

So. Jetzt geht das bei mir auf. 

Kontrolliere meine Rechnung auf jeden Fall nochmals.