Extemwertaufgabe Zylinder in Sphäre

Question

ich habe noch ein kleines Problem bei einer Extremwertaufgabe.

Ich habe mir schon reichlich Gedanken gemacht aber irgendwie komme ich jetzt nicht mehr weiter

Erstmal bin ich mir noch gar nicht sicher ob dass stimmt was ich mir so überlegt habe und des weitern weiß ich nicht wie ich h und r festlegen kann dass sie eine Teilmenge von VR sind . Und mit der Abhängigkeit von R bin ich mir auch nicht sicher , aber eigentlich habe ich dass doch schon oder nicht ?

Bin über jeden Gedanken froh den ihr dazu tragen könnt :)

Answer 1

Hi, ich denke Du bist doch auf dem richtigen Weg. Die Mantelfläche beträgt

$$ M(r,h) = 2\pi r h   $$ und es gilt $$ R^2 = r^2 +\frac{h^2}{4} $$

D.h Du musst folgende Funktion maximieren:

$$ M(R,h) = 2\pi h \sqrt{R^2-\frac{h^2}{4} }  $$

$$ \frac{\partial}{\partial h} M(R,h) = 0 $$ ergibt $$ \frac{2\pi (h^2 -2 R^2)}{\sqrt{4R^2 -h^2}} = 0 $$ also

$$  h = R \sqrt{2} $$ und daraus $$ r = \frac{R}{\sqrt{2}} $$ Also $$  M = 2 \pi R^2 $$

Jetzt muss noch nachgewiesen werden das \( \frac{\partial^2}{\partial h^2} M(R,h) < 0  \) gilt, damit ein Maximum bvorliegt.