Mit dem Lineal und Zirkel konstruierten komplexen Zahlen

Question

Hi,

betrachten einen Körper L⊂ℂ, der von den mit Lineal und Zirkel konstruierten Zahlen z∈ℂ gezeugt wird.Daneben betrachten wir einen Körper R⊂ℝ der die Real und Imaginär zahlen von den z ∈ L enthält.

Nun soll man zeigen, dass L=R(i), also wenn man R die imaginäre Zahl i hinzufügt, dass die Körper gleich sind.

Dazu müsste man so ein z aus L mal konstruieren. Ich habe aber keine Idee wie ich das machen soll.

Comments

Aus Interesse:

Was sind denn die "mit Lineal und Zirkel konstruierten Zahlen"?

Irgendwelche besonderen?

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Achso das sind Schnittpunkte von Geraden und Kreise, die hat man so definiert. Es wäre besser gewesen, wenn ich die Punkte genannt hätte.

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> R⊂ℝ der die Real und Imaginär zahlen von den z ∈ L enthält.

Die Dinger, die du vermutlich meinst, heißen Real- und Imaginärteil.

> wenn man R die imaginäre Zahl i hinzufügt, ...

... dann hat man mit Sicherheit keinen Körper mehr, weil i+i ∉ R(i) ist. Bitte beschreibe genauer, was R(i) sein soll, am besten wörtlich aus der Aufgabenstellung.

Answer 1

Ich verstehe das so:

Bekanntlich ist das  regelmäßiges 5-eck konstuierbar,

9-eck aber nicht.

Damit ist die komplexe Zahl

z1 = cos(72°) + i*sin(72°)  konstuierbar, also aus L

z2 = cos(40°) + i*sin(40°)  nicht konstuierbar, also nicht aus L

In deinem R sind also z.B.  alle rationalen Zahlen

und sowas wie √2 etc.  und  cos(72°) und sin(72°) , aber

nicht  cos(40°) und  sin(40°).

Und das "Hinzufügen" von i ist wohl die entsprechende Körpererweiterung

von R ,  also  R(i) = {  a+bi |  a,b ∈ R }  und behauptet wird, dass dies

gleich L ist.

Das ist aber doch wohl klar .  Denn  L ⊂ R(i)  gilt ja quasi nach Def. von R(i) ;

also a,b aus R , wenn z=a+bi konstruierbar.  Denn dann hatman ja die Längen

von a und b und kann dann durch Errichten einer Senkrechten und Abtragen der

Lägen immer z=a+bi konstuieren. 

Umgekehrt:   Damit das mit der Körpererweiterung klappt , muss man zu je zweien von

der Form a+bi auch Summe und Produkt konstruieren können.

Summe läuft raus auf Hintereinandersetzen der entprechenden Pfeile

und Multiplizieren durch Drehung ( auch konstuierbar) und Länge

|a| * |b| durch Anwendung des Strahlensatzes.