Geometrische Reihe; Folge von Quadraten, die einem Quadrat einbeschrieben sind.

Question

Ich kenne die geometrische Reihe und kann sie in der Regel einsetzen, aber diese Aufgabe bekomme ich nicht hin.

Aufgabe:

Die untenstehende Abbildung zeigt die ersten fünf einer Folge von Quadraten. Das äußere Quadrat hat einen Flächeninhalt von 4 m². Jedes weitere Quadrat entsteht, indem man die Seitenmitelpunkte des vorhergehenden Quadrats verbindet. Bestimmen Sie die unendliche Summe der Flächeninhalt all dieser Quadrate!

Hoffe ihr könnt mir helfen :) Danke schon mal

Answer 1

man könnte es auch berechnen, aber man kann sich leicht geometrisch vorstellen, dass jedes folgende Quadrat genau aus den vier Dreiecken zusammengesetzt ist, die beim vorhergehenden wegfallen.

Das Folgequadrat hat also jeweils die halbe Fläche des vorhergehenden.

A_gesamt = 4 + 4 • 1/2 + 4 • (1/2)² + 4 • (1/2)³  ......

Die benötigte Theorie (geometrische Reihe) zur Berechnung findest du hier:

Gesamtfläche  A  =  \(\sum\limits_{k=0}^{∞} 4· (1/2)^k\) = 4 / (1 - 1/2) = 8  [m²]

Gruß Wolfgang