Taylorpolynom in mehreren Variablen

Question

die Aufgabe ist folgende:

Bestimme das Taylorpolynom zweiten Grades von f(x,y) = 4xy+2x-y+9 in (1,1)^T.

Ich habe dafür eine Formel und habe eingesetzt: T_(1,1)2(x,y) = 14+6(x-1)+3(x-1)+0.5(8(x-1)(y-1)) = 4xy + 5x -4y +9

Weiter:

Schätze den Wert für x = (2,0)^T und bestimme den Fehlerterm.

f(2,0) = 15, T_(1,1)2(2,0) = 19

Jetzt meine Frage: Wieso ist T_(1,1)2(x,y) != f(x,y)? Sollte das nicht das selbe sein wenn man ein Polynom 2. Grades annähert mit einem Polynom 2. Grades? Oder habe ich etwas falsch gemacht?

Gibt es eine Fehlerterm Formel für den Taylor mit mehreren Variablen? Ich habe keine in meinem Skript...

Answer 1

T_(1,1)2(x,y) = 14+6(x-1)+3(x-1)+0.5(8(x-1)(y-1))

Das muss ein y sein.

Durch einsetzen erhalte ich dann 13.

Mit den Taylorpolynomen approximieren wir eine Funktion. Wir sagen ja, unsere Funktion ist ungefähr gleich der Summe der Taylorpolynome.

Da wir ja nur das Polynom zweiten Grades bestimmen, fehlt hier ein ganzes Stück der Summe, daher kommt hier auch ein anderes Ergebnis raus.

Der Fehlerterm wird meisten mit dem Restglied abgeschätzt, soweit ich weiß. Das heißt also,du müsstest mehr oder weniger das Taylorpolynom 3ten Grades berechnen und das 3te Glied ist dann der Restglied bzw. der Fehler.

Comments

Okay danke.

Aber f(x,y) = 4xy+2x-y+9 hat bei allen Ableitungen 3. Grades 0.

Das heißt das Restglied/Fehlerterm ist 0 obwohl ein Fehler zwischen f und T besteht?

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Du müsstest ja nicht nur f_xxx und f_yyy bilden sondern auch f_xyy usw. die sind nicht gleich 0.

Übrigens, dass wir einen Fehler erhalten ist auch mehr oder weniger nachvollziehbar.

Zum Verständnis:

Wir entwickeln um den Punkt (1,1), das heißt dass wir in der Nähe dieses Punktes approximieren. Je weiter wir uns von diesem Punkt entfernen,desto mehr weicht die Approximation ab vom eigentlichen Wert.

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Hab ich falsch abgeleitet?

f(x,y) = 4xy+2x-y+9

fx = 4y+2

fy = 4x-1

fxx = 0 (Und damit auch fxxy und fxxx)

fyy = 0 (Und damit auch fyyx und fyyy)

fxy = fyx = 4

Wo liegt mein Fehler?

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" f_xyy usw. die sind nicht gleich 0." vergiss das.

Puh, ich weiß gerade nicht,wie das zu erklären ist.

Per Matlab habe ich mir Taylorpolynome 2. und 3. Grades berechnen lassen und diese waren unterschiedlich.
Aber anscheinend sind die 3.ten Ableitungen gleich 0.

Tut mir leid, kann dir da gerade nicht weiterhelfen =(