Einem Kreis ist ein gleichseitiges Dreieck umbeschrieben. Berechnen Sie den Kreisradius. (Trigonometrie)

Question

Aufgabe:

Einem Kreis ist ein gleichseitiges Dreieck umbeschrieben.

a) Berechnen Sie den Kreisradius $r$. Hinweis: Die Seitenhalbierenden eines gleichseitigen Dreiecks teilen sich im Verhältnis 1: 2.

b) Welchen Flacheninhalt hat das schraffierte Flächenstück?

Lösung:

a) $r=\frac{s \sqrt{3}}{6}$,

b) $A_{\text {schraffiert}}=\frac{s^{2}(3 \sqrt{3}-\pi)}{36}=0.057 s^{2}$

Comments

Da sollte sich eigentlich mit Pythagoras allein lösen lassen.

Benutze

h² + (s/2)² = s²

und s/2 = r, da auch in den kleinen Dreiecken überall ein 60° - Winkel vorkommt. Sie sind alle habe gleichseitige Dreiecke.

Answer 1

Dreieck ADC hat Hypotenuse s und die

Katheten s/2 und CD=x

(Das x ist sowohl Höhe, als auch Seitenhalbierende

des gleichseitigen Dreiecks.

s² = s² / 4 + x²

3s² / 4 = x

s/2 * √3 = x

Und der Radius ist ( siehe Tipp) 1/3 von x ,

also r = s/6 * √3

Das schraffierte Stück ist 1/3 von

Dreiecksfläche - Kreisfläche

=( s²  * √3/ 4    -   ( s/6 * √3 )² * pi     )   : 3

= ( s²  * √3/ 4    -   ( s² /36 * 3 )    )   : 3

= ( s²  * √3/ 12     -   ( s² /36 ) )

=s² * (   √3/ 12     -   1 /36 )

=s² * (   3√3/ 36     -   1 /36 )

=s² * (   3√3     -   1 )   /   36