Nebenbedingung : x^2+y^2=1

Question

Wenn ich so eine Nebenbedingung habe kann ich ja ansatt die Lagrange-Methode die Substitution anwenden wie stelle ich dann bei dem Beispiel: x^2 + y^2=1 nach x oder y zum ?

Answer 1

Ist die Nebenbedingung nicht eindeutig auflösbar sollte man zu Lagrange greifen.

Du könntest aber auch mal probieren beide Ergebnisse zu Substituieren.

x^2 + y^2 = 1 --> y = ± √(1 - x^2)

Comments

Ich komme einfach nicht auf das ergebnis .. Die Aufgabe lautet:

f(x,y)= 8x+6y Nebenbedingung: x^2+y^2=1

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Wie lautet denn das Ergebnis, auf das du nicht kommst?

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Ich muss angeben wieviele kritische Stellen die Funktion hat in der Lösung steht 2

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Nein ich kann mir nicht die funktion vorstellen...

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Zum Verständnis der Frage fehlt mir :
Was ist die Definition einer kritischen Stelle ?
Und : im Zusammenhang mit dieser Frage ?

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Vielleicht schau ihr euch mal beide dieses Beispiel an:

https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator#Beispiel_mit_Nebenbedingung_ohne_verschwindenden_Gradienten

Ich denke das hilft euch eventuell etwas weiter.

Hier noch eine Skizze von Wolfram. Hab das endlich hinbekommen das er das so zeichnet wie ich will.

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In diesem Fall also
Aus der Nebenbedingung y bestimmen
In die Hauptfunktion einsetzen
1.Ableitung bilden und die Extremstellen ausrechnen.
Es sind also nur die Extrempunkte im DEF-Bereich ( hier Kreis )

Answer 2

Hallo Anisa, 

f(x,y) = 8x + 6y        mit  x² + y² = 1   →   y = ± √(1-x²)

1. Fall:   y = + √(1-x²)

y einsetzen:

f(x) = 8x + 6 ·√(1-x²)  

f '(x) = 8  -  6·x / √(1 - x²) = 0          [ √u ] ' = u' / (2·√u) ]

⇔   8 · √(1 - x²)  = 6x   |²

⇒   64 · (1-x²) = 36 x²  

⇔  64 - 64x² = 36x² 

⇔  64 = 100 x²  | : 4

⇔  16 = 25 x² 

⇔  x² = 16/25   →  x = ± 4/5   [ x = -4/5 entfällt bei Probe ]

→ x = 4/5 → y = 3/5

  2. Fall:   y = - √(1-x²)

 analog

Gruß Wolfgang

Comments

kannst du mir das mal genau erklären ich verstehe die wege nicht und wie du drauf kommst das x= 4/5 ist ?

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Habe die Antwort ergänzt.

Wenn das nicht reicht, musst du mir genau erklären, was du nicht verstehst.