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Bild Mathematik Bild MathematikIn der Aufgabenstellung steht ich soll die Extrempunkte , mit Nebenbedingung, mithilfe der Lagrange-Methode berechnen. Ist die Rechnung richtig? Und was sind meine Extrempunkte?

Lagrange mit Nebenbedingung/Extrempunkte. f(x,y)=x^3 + 2y^2 + 2xy + x + y - 100 , 2x + y = 10 

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bitte um Hilfe. Was sind meine Extrempunkte und ist die Rechnung richtig?

(Nur zur Kontrolle) Ist es möglich, dass meine Eingabe hier passt? 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+(x%5E3+%2B+2y%5E2+%2B+2xy+%2B+x+%2B+y+-+100+)+,+2x+%2B+y+%3D+10 

Man kann dort auch minimize schreiben. 

auf der Seite, die du verlinkt hast, steht dass mein maximuk bei 404 liegt. Wie komme ich auf die 404?

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Beste Antwort

Hallo Andrea,

ich habe gerade gesehen, dass du in deiner 4. Zeile rechts " ... -100) "  statt " .. -10)"  geschrieben hast. Damit habe ich dann leider auch gerechnet.  (vgl. meinen Kommentar)

f(x,y)  =  x3 + 2·y2 + 2·x·y + x + y - 100  

L(x,y,λ)  =  x3 + 2·y2 + 2·x·y + x + y - 100 + λ·(2·x + y - 100)

.....

für die Lösungen am Ende deiner Rechnung erhalte ich 

x1 ≈  -15,550   y1 ≈ 131,100  ;  λ1 ≈  - 494,299   

                                              und    x2 ≈ 12,883 ;  y2 ≈ 74,234   ;  λ2 ≈ - 323,701   

Bis auf die Rundung sind deine x-Werte also richtig

Man hat also die kritischen (stationären) Punkte   

                                                       ( -15.550 |  131.100 )   und   ( 12,883 | 74,234 )   

Jetzt betrachtet man die Hessematrix der Funktion L aus den zweiten partiellen Ableitungen: 

 \(\begin{pmatrix} L_{xx} &L_{xy}\\ L_{yx}&L_{yy}\end{pmatrix}\)   =  \(\begin{pmatrix} 6x&2\\ 2&4\end{pmatrix}\)  für jeden der kritschen Punkte.

( 12,883 | 74,234 ):          \(\begin{pmatrix} 77,298&2\\ 2&4\end{pmatrix}\)

Hier sind sowohl das erste Matrixelement als auch die Determinante der Matrix (Hauptminoren) beide positiv. Die Matrix ist deshalb positiv definit und daher liegt ein Minimum vor (Andere Begründung: Die Matrix hat 2 positive Eigenwerte)

Der Funktionswert( 12,883 | 74,234 ) =  15059,417 

( -15.550 |  131.100 ):      \(\begin{pmatrix} - 93,3&2\\ 2&4\end{pmatrix}\)

Hier funktioniert das Kriterium mit den Hauptminoren nicht. Die Matrix hat aber einen positiven und einen negativen Eigenwert. Deshalb ist sie indefinit.

In diesem Fall kann man die Determinante der "geränderten Hessematrix" betrachten:

       ( Nx und Ny sind die partiellen Ableitungen der Nebenbedingung ) 

\(\begin{pmatrix} 0&N_x&N_y\\ N_x&L_{xx}&L_{xy}\\ N_y&L_{yx}&L_{yy}\end{pmatrix}\)  =  \(\begin{pmatrix} 0&2&1\\ 2&-93,3&2\\ 1&2&4\end{pmatrix}\)

Deren Determinante = 8,53 ist positiv und daher liegt ein Maximum vor.

Der Funktionswert f (-15.550 |  131.100)  =  26552,731 

Gruß Wolfgang

    


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Dankeschön Wolfgang! Super erklärt! :)

@Andrea

Habe das mit 

L(x,y,λ)  =  x3 + 2·y2 + 2·x·y + x + y - 100 + λ·(2·x + y 10)

(vgl. oben in der Antwort)

noch einmal gerechnet.

Der Rechenweg bleibt völlig gleich.

Für die kritischen Punkte ergibt sich jetzt

( -6.035578659 | 22.07115731 und (3.368911993 | 3.262176013)

Bei den Hesse-Matrizen sind dann nur deren x-Werte zu ändern.

Die Schlussfolgerungen ändern sich nicht.

f( -6.035578659 | 22.07115731 ) = -11.86966372   Minimum

f( 3.368911993 | 3.262176013 )  =  404.0178112   Maximum

Sehr aufmerksam von dir, habe mich wohl verschrieben, aber nicht weiter schlimm. Das Prinzip habe ich jetzt verstanden. Danke nochmals! 

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