kritische Punkte, lokale Extrema, f(x,y)=cos(x)cosh(y)

Question

Bestimmen Sie die kritischen Punkte von f:ℝ^2 → ℝ, f(x,y) = cos(x) cosh(y)

Ich habe vorhin eine Aufgabe gerechnet, da war die Funktion etwas entgegenkommender. Jetzt hänge ich hier bei folgender Stelle:

grad f(x,y) = (-sin(x)cosh(y), cos(x)sinh(y) )

suche kritische Punkte mit grad f(x,y) =0 : -sin(x)cosh(y) = 0 <=> -sin(x) = 0 <=> sin(x) = 0 <=> x = sin(0)

jetzt wollte ich das in die 2.Gleichung einsetzen: cos(sin(0))sinh(y)) = 0 <=> sinh(y) = 0

Jetzt weiß ich nicht so recht weiter. Was muss ich als nächstes machen ?

Answer 1

f(x,y)=cos(x)*cosh(y)

df/dx=-sin(x)*cosh(y)=0

df/dy=cos(x)*sinh(y)=0

Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird.

 aus erster Gleichung : x=k*π , cosh(y)=0 hat keine reelle Lösung, k∈ℤ

zweite Gleichung:  x=π/2+k*π oder y=0

--> kritische Punkte:

(k*π,0)

Comments

aber würde bei der ersten Gleichung nicht auch x=0 gehen ? oder nur π ?

und bei der zweiten nur x= π/2 ?

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Es gibt unendlich viele Fälle für x, da der Sinus und der Cosinus periodisch sind.Diese stecken in dem k drin.

Für k=0 ergibt sich  x=k*π=0*π=0

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Bei der ersten Gleichung "geht"  für x  k•π mit k∈ℤ, also auch 0•π, ±1 • π usw., das sind dann alle ganzahligen Vielfachen von π.

Bei der 2. Gleichung sind es alle ungeraden Vielfachen von π/2