AWP mit einer Matrix. y' = Ay + b mit y(0) = y_(0)

Question

ich habe ein Problem mit einer Aufgabe, und zwar :

Aus der Vorlesung konnte ich einen Ansatz aufschnappen, der über die Diagonalmatrix und die Transformationsmatrix ging . Als Eigenwerte bekomme ich aber nur 3-mal die 4 und kann dann mit meiner Diagonalmatrix ( auf der Diagonalen 3-mal 4) und mit meiner Transformationsmatrix S (die us Eigenvektoren besteht) nicht das inverse von S bestimmen da da ich nur in der oberen Zeile einträge !=0 habe.

Gibts da noch einen anderen Ansatz oder habe ich einen Fehler? (die EW sind korrekt habe ich online überprüft)

Hilfe wäre top :)

Grunß Fachus

Answer 1

Hi,
die allgemeine Lösung lautet
$$ (1) \quad y(t) = e^{A(t-\tau)} \eta + \int_\tau^t e^{A(t-s)} b(s) ds $$

mit \( y(\tau) = \eta \)

Berechne also \( e^{At} \) und berechne dann (1). Das Ergebnis wird sein

$$ y(t) = \begin{pmatrix} \frac{e^{4t}}{16}-\frac{t}{4}+2te^{4t}+\frac{2t^3 e^{4t}}{3}-\frac{1}{16} \\ e^{4t}(t^2+1) \\ te^{4t} \end{pmatrix}   $$

Comments

Hallo ullim, erstmal danke für die schnelle Antwort,

die Formel hatte ich auch schon versucht nur mein Problem : e^At  ja gleich $$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ k! } *{ A }^{ k } } $$ und daher wir ja keine diagonal matrix haben endet die Reihe ja nicht es wäre ja quasi

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\quad 0 \\ 0 & 1\quad 0 \\ 0 & 0\quad 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4t & 2t\quad 0 \\ 0 & 4t\quad 2t \\ 0 & 0\quad 4t \end{pmatrix}+\frac { 1 }{ 2 } \begin{pmatrix} 16{ t }^{ 2 } & 16{ t }^{ 2 }\quad 4{ t }^{ 2 } \\ 0 & 16{ t }^{ 2 }\quad 16{ t }^{ 2 } \\ 0 & 0\quad 16{ t }^{ 2 } \end{pmatrix}+.....$$

UNd das hilft mir doch nicht weiter oder?

Gruß Fachus

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Hi, bringe die Matrix \( A \) auf Jordan Normalform und berechne die zugehörige Transformationsmatrix dazu. Dann gilt

$$ A = T J T^{-1}  $$ Das setzt Du in die Reihenentwicklung für das Matrixexponential ein. Man erhält dann

$$  e^{At} = T e^{Jt} T^{-1} $$

Und damit gehst Du in die angegebene Lösungsformel.

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Zur Vollständigkeit : Also man muss es nicht mit der Jordan-Matrix machen man sich A auch auseinander ziehen in eine Diagonalmatrix (D) mit den 4ren auf der Hauptdiagonalen und in die Nieexpomatrix (N) mit den beiden 2en oben rechts sodass D+N =A ist und e^tD sowie e^tN kann man einfach ermitteln und da D*N=N*D ist gilt :

e^{t(N+D)} = e^tA =e^tN * e^tD

Dass macht die Sache wesentlich einfacher.

Aber trotzdem danke ullim , mir wurde gesagt die Jordanmatrix bekommen wir erst in Mathe 3 deswegen kam ich damit nicht weiter, aber dass müsste auch klappen .

Gruß Fachus