Mengenbeweis Berührpunkte

Question

X sei ein toplogischer Raum und M eine Teilmenge von X

Sei M' die Menge der Berührungspunkte von M und dM sei der Rand. Und M^ die Inneren Punkte von M

Ich soll nun zeigen, dass gilt:
dM = M' / M^

Kann jemand überprüfen, ob das soweit richtig ist? :

Für ein Element aus M' gilt, dass aus jeder beliebigen Umgebung U_a mindestens ein Element in M liegt.

Da dies für alle Elemente im Inneren von M gilt, kann man M' zusammenfassen als:

M' = M^ vereinigt mit B

B sei zunächst einmal eine Unbekannte Menge, die nicht im Inneren von M liegt.

Es gilt somit:
M'  \ M^ = (M^ vereinigt mit B ) \M^

Das Innere fällt weg :

= B\M^

Jetzt muss unser B entweder auf dem Rand oder außerhalb von M liegen.

Wie setzt sich unser B nun zusammen?  Es gilt weiterhin, dass in jeder Umgebung mindestens ein Element von M liegt. Da wir jetzt ausgeschlossen haben ,dass dies für alle Elemente der Umgebung der Fall ist, weil das nur für Elemente im Inneren gilt, heißt  das dass auch mindestens ein Punkt außerhalb von M liegen muss.

 Dies ist genau die Definition für unseren  Rand, heißt B liegt auf dem Rand bzw. ist der Rand => Fertig.

Answer 1

Ich würde es etwas formaler angehen:  Mengengleichheit wird ja

meistens bewiesen durch:

Sei x in der linken Menge, dann auch in der rechten.

und umgekehrt.

Sei also x ∈ dM.   Dann gilt:   Jede Umgebung von x enthält Elemente von

M und welche, die nicht in M liegen.

Wegen der 1. Eigenschaft ist x ∈ M '   und wegen

der zweiten gilt:      x ∉ M^    

Also x ∈ M '  \ M^ .

Sei nun x ∈ M '  \ M^ .  Dann gilt  insbesondere x ∈ M '  und deshalb enthält

jede Umgebung von x mindestens ein Element von M.

Andererseits muss jede Umgebung von x auch ein Element enthalten, das nicht in M

liegt; denn anderenfalls wäre x ∈ M^    .   Also erfüllt x beide Eigenschaften

eines Randelementes, also x ∈ dM.

Comments

Alles klar ,danke.

Ist im Prinzip auch die selbe Idee,die ich hatte. :)