Grundlagen: Substitution

Question

ich bei Substitutionsrechnung zwei Fragen:

1. Es ist doch möglich die Wurzel aus Zahlen zuziehen, die im Minus stehen oder?

Beispiel

x^4+x^2-2=

z^2+z-2=

abc-Formel angewandt =

z1=1

z2=-2

Wurzel ziehen aus 1=1 und –1

Wurzel ziehen aus -2=1,4142 und -1,4142

2. Bei Zahlen die „hoch 6“ und „hoch 3“ stehen, wird bei der Umwandlung z zurück zu x ja Wurzel dritten Grades gezogen oder?

Beispiel:

x^6+6x^3+8=

z^3+6z+8=

abc-Formel angewandt =

z1=-4

z2=-2

Wurzel dritten Grades ziehen aus -4=1,58740 und –1,58740

Wurzel dritten Grades ziehen aus -2=1,25992 und –1,25992

Chris

Answer 1

Man kann Wurzeln aus negativen Zahlen nur im Bereich der Komplexen Zahlen ziehen. Für den normalen Schulgebrauch wird das nicht benötigt.

x^4 + x^2 - 2 = 0 

Hier gibt es also nur die reellen Lösungen ± 1.

Bei

x^6 + 6·x^3 + 8 = 0

darfst du nachher die dritte Wurzel aus negativen Zahlen ziehen. Gibt aber nur eine Lösung und nicht zwei.

x = (-4)^{1/3} = - 1.5874

x = (-2)^{1/3} = - 1.25992

Comments

Wer sagt das es für den normalen Schulgebrauch nicht benötigt wird. Welches Schulniveau setz Du dafür an. Abtiurklassen?

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Ja. Abiturklassen. Und auch wenn komplexe Zahlen als Vorschau für das Studium gemacht wird. Das gilt aber nicht wenn Nullstellen zur Kurvendiskussion gemacht werden sondern eigentlich nur dann abgeschlossen im Themengebiet komplexe Zahlen.

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Vielen Dank für eure schnellen Antworten.

Aber ich bin etwas verwirrt.

Bei Cornelesen werden bei Aufgaben, aus denen die Wuzeln aus negative Zahlen gezogen werden, immer zwei Ergegbnise angegeben. Im Internet finde ich beide Möglichkiten. Und es steht eigentlich nie dabei, dass der Breich die Komplexen Zahlen ist.

Mir geht es eigentlich nur darum, wenn eine typische Textaufgabe im Abitur dran kommt, ob ich da dann die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen muss.  

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Naja, vor langer Zeit, vor meinem Mathematikstudium, habe ich die Fachhochschulreife erworben. Die liegt definitiv unter dem Abiturniveau. Aber dort haben wir schon Imaginäre Zahlen behandelt. Deswegen glaube ich, dass das nur Deine sehr persönliche Meinung ist.

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Bei typischen Abituraufgaben braucht man nicht die komplexen Lösungen beachten.

Es sei denn da steht extra dabei lösen sie im Bereich der komplexen Zahlen. Allerdings ist mir das bisher noch in keiner Abituraufgabe unter gekommen.

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Ich würde schon mal davon ausgehen. Ist ja auch nicht schwer. Mann muss nur daran denken das \( i^2 = - 1 \) gilt

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@ ullim

Lehrer können hier in Hamburg auch komplexe Zahlen durchnehmen mit den Schülern. Es gibt auch Lehrer die das machen. Abiturrelavant ist es hier in Hamburg trotzdem nicht. Das kann sein das das in anderen Bundesländern durchaus anders ist. Allerdings kenne ich ziemlich viele Abituraufgaben unter anderem auch aus Bayern und komplexe Zahlen hatte ich darin bisher noch nie.

Vorgeschriebene Themengebiete kann man bei seinem Lehrer erfragen oder im Internet nachsehen. Aber solange der Lehrer noch nichts von komplexen Zahlen gefaselt hat braucht man sich darum auch nicht kümmern.

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Bist Du Schüler in einer Abiturklasse oder Lehrer für Abiturklassen, dass Du das so genau sagen kannst.

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Aufgrund meines Berufes kenne ich die Abiturthemen für Hamburg und Schleswig Holstein. Und ich kenne diverse Abituraufgaben aus anderen Bundesländern.

Natürlich kann ich nicht für jede einzelne Klasse im gesamten Bundesgebiet sprechen. Aber gernerell braucht man erst Wurzeln aus negativen Zahlen berechnen wenn es vom Lehrer gefordert wird und das bekommen die Schüler meist mit wenn der Lehrer in die Menge der komplexen Zahlen einführt.

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Was ist denn dein Beruf?

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Ihr habt mir sehr geholfen. Da ich in Hamburg mein Abi mache, passt das ja.

Chris

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Für den Lehrplan des Saarlandes kann ich dem zustimmen.

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Dann mach bloss vor dem Abitur keine Umzug nach NRW oder Baden-Württemberg. Das geht in die Hose.

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Soweit ich mich daran erinnere gibt es ja sowieso ein Nord / Süd Gefälle. Also mag das alles für Hamburg stimmen. Leider wohne ich südlicher!

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Zeig mir im verbindlichen Lehrplan für NRW oder Baden-Würtemberg das komplexe Zahlen zum Pflichtbereich für den Leistungskurs ist.

Alternativ geht auch eine Abiklausur der letzten 5 Jahren indem komplexe Zahlen dran waren.

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Naja, das übersteigt mein geplantes Engagement. Ich zitiere nur aus meiner Vergangenheit und der meiner Kinder. Aber so wichtig ist mir das Ganze nicht. Du kannst ja Deine Meinung weiterhin pflegen. Ich würde sagen, damit ist Schluss mit dieser Konversation.

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Ist klar eine Goggle suche nach Bildungsplan und komplexe Zahlen übersteigt dein Engagement:

http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek2/analysis/complzahlen/

Zitat: "Die komplexen Zahlen bieten sich alternativ als Wahlthema in der Jahrgangsstufe 2/2 an. ..."

Warum muss man nur die armen Schüler hier so verwirren.

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Ich habe mein Abitur dieses Jahr in Bayern gemacht. Habe mich also auch intensiv mit den Abituraufgaben der letzten Jahre beschäftigt. Komplexe Zahlen werden da aber nicht behandelt, zumindest nicht im Mathematikunterricht.

Bei uns gibt es aber FOS/BOS 13. Dort hat man im technischen Zweig Technologie, wo man Grundlagen der Elektrotechnik behandelt. Dort werden die komplexen Zahlen durchgenommen.

Answer 2

Wurzel ziehen aus negativen Zahlen ergibt imaginäre Zahlen.

Comments

Die dritte Wurzel aus minus Acht würde ich aber doch als minus Zwei haben wollen.

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Aber die Wurzel aus \( -2 \) ist nicht -1,4142, weil \( (-1,4142)^2 = 2  \) und nicht \( -2 \) ist

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Ja, das stimmt!                           

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Spricht man vom Wurzel ziehen wird meist die Quadratwurzel gemeint. Zumindest kenne ich das so.

Quadratwurzeln und gerade Wurzeln aus negativen Zahlen gibt nur komplexe Lösungen.

Ungerade Wurzeln kann man auch aus negativen Zahlen ziehen.

Answer 3

du scheinst keine komplexen Zahlen zu kennen (nicht ungewöhnlich in Schullehrplänen):

z² + z - 2 = 0 hat die Lösungen  z₁ = 1 und z₂ = -2

x² = 1  ⇔ x = ± 1

x² = -2  ⇔ x = ± √2 · i   , diese Lösungen existieren nur über der Grundmenge der komplexen Zahlen

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Das Vorgehen mit z = x³ :

x⁶+6x³+8=0

z²+6z+8=0

z = -4 ∨ z = -2

x³ = - 2  →  x = - ³√2

x³ = - 4  →  x = - ³√4

hier hast du reelle Lösungen, weil bei x³ das Minuszeichen von x erhalten bleibt

Gruß Wolfgang