Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen bestimmen

Question

P₁ (x) = ∑^∞_n=0 (1/3ⁿ) * xⁿ

P₂ (x) = ∑^∞_n=0 (1/n³) * xⁿ

Ich muss auch die Konvergenz für |x| = r(P_i) untersuchen.

Kann mir das bitte jemand erklären wäre sehr dankbar!

Answer 1

Hi,

P₁: a_n=1/3^n

Berechnung des Konvergenzradius mithilfe des Quotientenkriteriums:

r=lim n--> ∞|a_n/a_n+1|=lim n--> ∞ 3=3

Für die außen Grenzen x=±3 muss man separat testen, ob die Reihe konvergiert.

x=-3: ∑_n=0^∞ (-1)^n , divergiert, da die Partialsumme entweder 0 oder +1 ist.

x=3  ∑_n=0^∞ 1 , divergiert da die Summe immer weiter wächst.

P₂: a_n=1/(n^3) (der untere Index der Summe müsste bei n=1 starten, da a_n für n=0 gar nicht definiert ist)

Berechnung auf die selbe Art wie bei P₁:

r=1

x=-1 :  ∑_n=0^∞ (-1)^n/n^3 --> Konvergiert nach Leibnitz Kriterium, da 1/n^3 eine monoton fallende Nullfolge ist. 

x=1  ∑_n=1^∞ 1/n^3 Diese Reihe konvergiert nach dem Integralvergleichskriterium.