Lagrange Funktionen mit Nebenbedingung

Question

ich versteh diese Aufgabe schon und weiß genau wie es geht aber ich bekomme schwierigkeiten bei b) ich konnte die xj nicht rausfinden.

Answer 1

Hi,
die Lagrangefunktion sieht so aus
$$ L(x,\lambda) = f(x) + \lambda\ ( g(x) -1 ) $$
Die partiellen Ableitungen von  \( L(x,\lambda) \) lauten
$$ (1) \quad L_{x_i} = -\sum_{j=1}^n \left[ \delta_{ij} \log(x_j) + x_j \frac{1}{x_j} \delta_{ij} \right] + \lambda g_{x_i} = -\log(x_i)-1+\lambda = 0 $$ und
$$ (2) \quad L_\lambda = \sum_{j=1}^n x_j - 1 = 0 $$
Aus (1) folgt
$$ (3) \quad x_i = 10^{\lambda-1} $$ und aus (2) folgt
$$ (4) \quad \sum_{j=1}^n 10^{\lambda-1} = n \cdot 10^{\lambda-1} = 1  $$ also
$$ (5) \quad \lambda = 1-\log(n) $$
Die Werte von (3) in \( f(x) \) eingesetzt ergibt in Verbindung mit (5) ergibt
$$ (6) \quad f(x) = -\sum_{j=1}^n \frac{1}{n} \log\left(\frac{1}{n}\right) = \log(n) $$