Flächenberechnung von einem Eiquerschnitt

Question

Hallo Community,

ich bräuchte eure Hilfe bei folgendem Problem:

Ich soll die Flächenformel des Eiprofils (siehe Bild) ermitteln.

Die obere Hälfte ist logischerweise ein Halbkreis, bei der unteren Hälfte hatte ich verschiedene Ansätze, die alle nicht zum Ziel führten.

Ein großer Punkt weshalb ich nicht weiterkomme ist wahrscheinlich auch der, dass ich mit dem Dreieck nichts anfangen kann, wie es in die Berechnung mit einfließt.

Wie berechnet man die Fläche, aus welchen Teilflächen setzt sie sich zusammen?

Zur Überprüfung, ob die Formel stimmt, sieht man unter der Zeichnung, dass bei r=1 die Fläche 4,594 groß sein sollte.

Ich würde mich über jede Hilfe freuen.

Answer 1

A1 = 1/2 * pi * r^2

TAN(α) = (3/2)/2 --> α = ATAN(3/4)

A2 = 2·pi·(3·r)^2 · ATAN(3/4)/(2·pi) - 2·r·3/2·r

A3 = pi·(r/2)^2·(pi - 2·ATAN(3/4))/(2·pi)

A = 1/2 * pi * r^2 + 2·pi·(3·r)^2 · ATAN(3/4)/(2·pi) - 2·r·3/2·r + pi·(r/2)^2·(pi - 2·ATAN(3/4))/(2·pi)

Vereinfachen und Zusammenfassen ergibt:

A = 4.594130110·r^2

Comments

Erst einmal vielen Dank für deine hilfreiche Antwort! :)

Mathe-Abi ist nur leider schon einige Jahre her bei mir und ich würde gerne jeden Gedankengang nachvollziehen können. Es wäre lieb, wenn du mir vielleicht etwas unter die Arme greifen könntest.

Die erste Zeile ist trivial, aber schon direkt bei der Zweiten habe ich Probleme:

Wie bereits erwähnt habe ich den Sinn des Dreiecks in diesem Eiprofil noch nicht ganz verstanden. Und ich weiß auch nicht was genau du mit dem Winkel anstellst, aber was ich mich direkt frage ist:
Der Tangens ist doch Gegenkathete durch Ankathete..wäre das nicht also 2 / (3/2) ? alpha ist doch dieser spitze Winkel dort unten, den wir berechnen, oder?

---

Schon gut! Ich bin blond :D

Ich habe jetzt endlich gecheckt, was mir das Dreieck vermittelt. Wir berechnen alpha auf der rechten Seite, um den Winkel für das Kreissegment für r=3 zu haben! :D

Mal gucken, ob ich den Rest jetzt auch verstehe! :)

---

Ah ich sehe schon du bist auf dem richtigen Weg. Der Tangens war ja definiert als das Verhältnis aus Gegenkathete und Ankathete.

Also tatsächlich der Winkel rechts oder links außen.

---

Sorry, hat etwas gedauert, aber ich muss nebenbei noch arbeiten.Ich wollte dir nur mitteilen, dass ich jetzt jeden deiner Schritte nachverfolgen konnte!Mein einziges Problem ist, weshalb ich anfangs dann auch nicht weiter kam:Woher wusstest du die Länge der Ankathete? Deine Rechnung belegt, dass es ja offensichtlich richtigerweise 2r ist, aber ist dies auch wirklich so eindeutig aus der Zeichnung zu erkennen? Übersehe ich etwas?

---

Ja. Denn das Mittelteil des Eis wird aus zwei Kreisbögen gebildet die jeweils den Radius 3 r haben. Ich kenne die Eibreite mit 2r und weiß damit das über die Eibreite hinaus das Dreieck noch mit der länge 1r weitergeführt ist.

---

Oh, stimmt! Das habe ich übersehen gehabt. Vielen Dank nochmals!