Stetigkeit bei mehreren Veränderlichen ( Epsilon-Delta)

Question

ich habe die Funktion

f(x) = xy^3/(x^2+y^4)  für (x,y) ungleich (0,0) 

       0 für (0,0)

Ich möchte nun auf Stetigkeitprüfen und zwar mittels Epsilon-Delta Kriterium, da ich dieses im Mehrdimensionalen noch nicht so ganz verstanden habe.
Also:

Stetig für alle (x,y) ungleich (0,0) ,da Kompisition stetiger Funktionen.

Betrachten wir nun

| f(x,y) -f(0,0) | =  |xy^3|/(x^2+y^4) <= |x|*|y|^3 /(x^2+y^4) <=  |x|*|y|^3 / 2*Wurzel(|x|^2*|y|^4) = |x|*|y|^3/ 2|x|*|y|^2 = |y| / 2

Jetzt verstehe ich das Prinzip noch nicht so ganz. Ich muss nun eine Umgebung betrachten, die um (0,0) liegt und diese Umgebung abhängig von  |y| / 2 machen oder?

Comments

Wenn du mal "Richtungsstetigkeit" anschaust und z.B. y = 0 setzt,

Hast du

f(x,x) = x*x^4/(x² + x^4) = x^5/(x^2 + x^4) = x /(x^{-2} + 1) -^x->0--> 0 /( 1/0   + 1).

Das sollte also konvergieren 0 geben für x->0, beantwortet deine Frage aber nicht.

Hier eine Kritik

" | f(x,y) -f(0,0) | =  |xy³|/(x²+y⁴) = |x|*|y|³ /(x²+y⁴) 

und eine Frage: Was machst du genau mit dem Nenner? Sicher, dass der so kleiner wird? Binomische Formel genommen? 

<=  |x|*|y|³ / 2*Wurzel(|x|²*|y|⁴) = |x|*|y|³/ 2|x|*|y|² = |y| / 2 "

"Jetzt verstehe ich das Prinzip noch nicht so ganz. Ich muss nun eine Umgebung betrachten, die um (0,0) liegt und diese Umgebung abhängig von  |y| / 2 machen oder? "

Das Ziel ist doch dann hier: 

Für alle E > 0, gibt es ein D>0, so dass | f(x,y) | < E , wenn |(x,y)| < D.

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Benutze das hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel

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Aha. Ungleichung verstanden.

Klappt denn Folgendes ?

Sei E> 0 gegeben, so wähle D = E/2  oder zur Sicherheit D = E/3 und es gilt nun

| f(x,y) | < E, wenn |(x,y)| < D.   ..... qed(?)

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Wie kommst du auf E/2?

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Das wäre nur nötig gewesen, wenn du 2|y| am Ende der Ungleichung hättest. Hier genügt aber D = E. Vgl. mathefs Rechnung.

Answer 1

f(x,y) = xy³/(x²+y⁴)

um f(x,y) anzuschätzen kannst du doch nach den ganzen Tipps ausgehen von

( x^2 + y^4 ) / 2  ≥ √(x^2 *y^4) = | x|  *  y^2

also    ( x^2 + y^4 )   ≥ 2 | x|  *  y^2

               1    ≥    (  2 | x|  *  y^2 )   /     ( x^2 + y^4 )

0,5      ≥     | x|  *  y^2 )   /     ( x^2 + y^4 )   also

0,5 |y |      ≥     |f(x,y) |       #

Und wenn du zu irgendeinem pos E jetzt D = E wählst,

dann hast du für |(x,y)| < D jedenfalls

                               |y| < D

                             0,5 |y |  < 0,5 D  = 0,5 E < E

und damit  mit #     |f(x,y) |    <  E

Comments

"dann hast du für |(x,y)| < D jedenfalls

                               |y| < D  "

Wie kommst du auf die zweite Ungleichung?

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|(x,y) | = √(x^2 + y^2) ≥  √(y^2) = |y|

Nun Reihenfolge umkehren und links neben die Gleichung vorher schreiben.

==> |y| = ..... < D.

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Ich hoffe mal das geht soweit klar, wenn ich die Aufgabe dran hänge:

Stetigkeit im Punkt 0?

f(x,y) = x^2/(x+y)

| x^2 / (x+y) | <= |x^2/x| = |x| < e

Dann gilt für d = e

|(x,y)| < d

| x| < | x,y| < d

|x| < d = e

bzw:

|f(x,y)| < |x| < d =e

Wäre soweit dann auch richtig oder?

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| x² / (x+y) | <= |x²/x| = |x| < e

Die erste Ungleichung gefällt mir hier nicht. 

Was passiert genau auf dem Pfad mit  y = -x?

f(x, -x) = x²/(x - x)  

Nun Grenzwert x -> 0 ? 

Bei f(x,y) ist nicht nur der Punkt (x,y) = (0,0) problematisch. Kannst du den Bereich, wo f nicht definiert ist, denn ausschliessen? 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+%7C+x%5E2+%2F+(x%2By)+%7C

Stetigkeit in (x,y) = (0,0) sollte sich gemäss WA also beweisen lassen, wenn f(0,0) : = 0 definiert wurde.  

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Oh mein Fehler.
f bildet von X nach |R ab.
Wobei X := { (x,y) aus R^2 | x> 0 , y>0 }

Machen meine Aussagen nun Sinn?

Was genau meinst du mit WA?

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WA ist schlicht meine Abkürzung für WolframAlpha.

(Später ev. mehr)