Verfolger und Gejagter. Geometrische Reihe oder unlösbar?

Question

folgende Aufgabenstellung (keine weiteren Angaben vorhanden):
Wann holt Verfolger A den Gejagten B ein, wenn sich alle 10m der Abstand zu B halbiert?

Answer 1

Die Aufgabe ist lösbar, sicher auch über eine geometrische Reihe. Sie ist aber auch mit folgender Überlegung lösbar: Alle 10 Minuten bleibt noch eine Strecke für den Verfolger zu laufen, die genau so lang ist, wie die soeben zurückgelegte Strecke. Damit holt der Verfolger den Gejagten nicht in einer endlichen Zeit ein. (Er wird ihn natürlich irgenwann greifen können.) Bei Achilles und der Schildkröte verkürzen sich nicht nur die Laufstrecken, sondern auch die dafür erforderlichen Zeiten. Damit ist gewährleistet, dass Achilles die Schildkröte einholt.

Comments

Ich habe Minuten statt Meter geschrieben. Die Logik der Antwort ist aber nicht betroffen.

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Hallo Roland,

Wie wir logisch denken und in der Tat annehmen können, holt Achilles die Schildkröte niemals ein... und diejeweiligen Zeiten bis zu x-beliebigen Annäherungspunkten verkürzen sich m. E´s  ebenso bis ins unendliche usf.Frdl. GrüßeH.H.

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Nachtrag: Achilleus kann die Schildkröte nur ÜBERHOLEN.

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Lieber H.H.

Du schreibst "diejeweiligen Zeiten bis zu x-beliebigen Annäherungspunkten verkürzen sich m. E´s  ebenso bis ins unendliche". Was ist eine Verkürzung bis ins Unendliche? Sagt der Mathematiker da nicht leiber "geht gegen Null"? Wenn der Wettlauf zwischen Achilles und der Schildkröte genau so abliefe, wie in dieser Aufgabe geschildert, dann würde Achilles die Schildkröte wirklich nicht einholen. Tatsächlich aber sagt uns schon allein unsere Vernunft, dass Achilles die Schildköte sogar überholt. Xenon berücksichtigt nicht, dass die Laufzeiten immer kürzer werden und führt uns damit auf den Leim.

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Lieber Roland,

für den Mathematiker geht so manches gegen Null, und damit hat sich`s. Dies ist prinzipiell keine Erklärung,

kein Versuch, zumindest spekulative,  weitere Überlegungen in diesem Falle anzustrengen. Ich habe bewußt

lakonisch nur ..."überholen" geschrieben, da der Gedanke, ein geradlinig sich bewegendes Objekt niemals

einholen zu können ( i.o.S. )  faszinierend ist und als Paradoxon vorläufig nicht zu Ende gedacht werden

kann.

Annäherungen gegen Null reichen sicher für vieles Berechenbare aus - aber die Herausforderung dar-

über nachzudenken bleibt.

( vermutlich war dem Xenon der Zeitvergleich mit der jeweils zurückgelegten Strecke zu banal, da zu offen-

sichtlich )

einen freundlichen Gruß

H.H.

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Hallo Mathefreund

Dein Teilsatz "da der Gedanke, ein geradlinig sich bewegendes Objekt niemals einholen zu können ( i.o.S. )  faszinierend ist und als Paradoxon vorläufig nicht zu Ende gedacht werden kann" stößt bei mit auf heftigen Widerspruch. Selbstverständlich können geradlinig sich bewegende Objekte eingeholt werden. Das erleben wir  tausendfach im Alltag, zum Beispiel auf Autobahnen. Der Moment des Überholens kann als "einholen" verstanden werden.

Die Summe 1+1/10+1/100+1/1000+ ... ist 1,1periode. Und das ist eine rationale Zahl (nämlich 10/9). Nach 10/9 Stadien holt Achilles die Schildkröte ein.

In der gegebenen Aufgabe ist der Abstand  zwischen A und B allerdings a₀(1/2)ⁿ mit a₀ als Abstand zu Beginn. Gleichzeitig befindet sich B an der Stelle 10n. Für n gegen Unendlich geht aber 10n ebenfalls gegen Unendlich und a₀(1/2)ⁿ gegen Null. Es bleibt - solange wir im Endlichen bleiben - aber ein Abstand. Das "Einholen" findet erst im Unendlichen statt, also nie.

Gruß Roland

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Hallo Roland,

zugegeben, sehr schön mathematisch argumentiert. Der Schwachpunkt scheint mir zu sein: ...Überholens

kann als einholen verstanden werden; abgesehen von "Einholen erst im Unendlichen...( scheint wohl

gegenwärtiger "mathematisch bewiesener Duktus" zu sein ). Nun zum Einholen:

1. Wenn A. die Sch. einholt, hat er deren Platz eingenommen, was unmöglich ist, da die Sch. nicht mehr da

    ist; sozusagen weggekegelt. Eine gleichzeitige Ortsbestimmung dieser beiden materiellen Objekte

    ist unmöglich.

2. A. kann sich also nach dem "Einholen neben ( oben etc. ) der Sch. befinden; damit hat er, vom Ausgangspunkt

   betrachtet, einen mindestens minimalen schrägen Weg bis zur Sch. zurückgelegt, und damit sind wir

   erneut am Ursprung unserer Behauptungen angelangt. (Den schrägen Weg als den nicht idealen,

   geraden Weg verstanden.)

Einen frdl. Gruß

H.H.

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Hallo Mathefreund,

du nennst dich Mathefreund und bist ein Feind einer wichtigen mathematischen Disziplin: der Infinitesimalrechnung. Ich würde Mathefeind für zutreffender halten.

Zur Mathematik gehört auch, dass man sich schnell auf die Bedeutung von Begriffen einigt. Der Begriff "Einholen" ist bei uns beiden so unterschiedlich besetzt, dass wir und niemals einigen werden. Also Ende Gelände.

Gruß Roland

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Hallo Roland,ich wollte Dir nicht "auf die Füße treten". Entschuldigung. Auch den Riesen Leibniz und Newton nicht.Kann ich als Sterblicher auch nicht. Wenn aber keine Fragen auftauchen, gibt`s keine Weiterentwicklung.Sicher gibt es keine Wiss. Disziplin, in der alles schlüssig ist ( Popper ). Dennoch liegt die Mathematikneben der Physik ( als untrennbare Einheit verstanden, Einstein ) bei mir auf dem ersten Platz.Herzlichst und danke für alle Antworten,H.H.