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Bekanntlich jagt Achilles hinter der Schildkröte hinterher.

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Achilles ist zur Zeit \( t=0 \) am Ort \( x_{0}^{A}=20 \) (Zeiteinheit: Sekunden, Lāngeneinheit:

Meter). Die Schildkröte ist zur selben Zeit am Ort \( x_{0}^{5}=90 \) und hat somit einen Vorsprung von \( 90-20 \) Metern.

Achilles läuft hinter der Schildkröte her und ist zur Zeit \( t_{1}=30 \) bei \( x_{1}^{A}=x_{0}^{5} \) angelangt. Also hat er fur die Strecke von \( x_{0}^{4} \) nach \( x_{1}^{A} 30 \) Sekunden gebraucht. Die Schildkróte, die 10 mal langsamer läuft als Achilles, ist zu diesem Zeitpunkt bereits am Ort \( x_{1}^{5} \) Achilles hat sie nicht eingeholt.
Achilles lauft weiter hinter der Schildkróte her und ist zur Zeit \( t_{2} \) an der Stelle \( x_{2}^{4}=x_{1}^{5} \). Die Schildkröte ist zu dieser Zeit jedoch schon wieder weiter und bei \( x_{2}^{5} \) angelangt. Achilles hat sie noch immer nicht eingeholt; usw.

Bestimme die Zahlen:

a) \( x_{k}^{A}, x_{k}^{5}, k=2,3,4 \)

b) \( x_{10}^{A}, x_{10}^{5} \)

c) Wie lange läuft Achilles bis \( x_{10}^{4} \) ?

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a)

Achilles Geschwindigkeit vA beträgt

vA = 70 m / 30 s = ( 7 / 3 )  m/s

Die Geschwindigkeit vS der Schildkröte beträgt ein Zehntel davon, also:

vS = vA / 10 = ( 7 / 30 ) m/s

 

Um den jeweiligen Vorsprung der Schildkröte zum Zeitpunkt k einzuholen, benötigt Achilles die Zeit

( xkS - xkA ) / vA

In dieser Zeit kommt die Schildkröte um die Strecke

( ( xkS - xkA ) / vA ) * vS

voran. Wegen vS / vA = 1 / 10 gilt also für den jeweils neuen Ort xSk+1 der Schildkröte:

xSk+1 = xkS + ( 1 / 10 ) * ( xkS - xkA )

Während also Achilles den jeweils aktuellen Vorsprung der Schildkröte einholt, kommt die Schildkröte um ein Zehntel dieses Vorsprunges weiter voran. Daraus ergibt sich:

x0A = 20 m
x0S = 90 m

x1A = x0s = 90 m
x1S = x0S + ( 1 / 10 ) * ( x0S - x0A ) = 90 + ( 1 / 10 ) * ( 90 - 20 ) = 97 m

x2A = x1s = 97 m
x2S = x1S + ( 1 / 10 ) * ( x1S - x1A )
= x1S + ( 1 / 10 ) * ( x1S - x0S ) = 97 + ( 1 / 10 ) * ( 97 - 90 ) = 97,7 m

x3A = x2s = 97,7 m
x3S = x2S + ( 1 / 10 ) * ( x2S - x1S ) = 97,7 + ( 1 / 10 ) * ( 97,7 - 97 ) = 97,77 m

x4A = x3s = 97,77 m
x4S = x3S + ( 1 / 10 ) * ( x3S - x2S ) = 97,77 + ( 1 / 10 ) * ( 97,77 - 97,7 ) = 97,777 m

 

Daraus kann man die allgemeine Formel

xkS = xSk-1 + ( vS / vA ) * ( xSk-1 - xSk-2 ) = xS0 + ∑i=0k-1 ( 7 / 10 i )  

ableiten, die den Ort xkS der Schildkröte nach dem k-ten Durchgang angibt.

Für k=9 etwa ergibt sich daraus:

x9S = x0S + ∑i=08 ( 7 / 10 i ) = 90 + 7 + 0,7 + 0,07 + ... + 0,00000007 = 97,77777777 m

Damit kann nun auch Aufgabenteil b) einfach gelöst werden:

b)

xA10 = x9S = 97,77777777 m
xS10 = x9S + 0,000000007 = 97,777777777 m

c) Mit seiner Geschwindigkeit vA = ( 7 / 3 ) m/s benötigt Achilles vom Ort x0A = 20 m bis zum Ort xA10 = 97,77777777 m die Zeit

t10 = ( xA10 - xA0 ) / vA = 77,77777777 / ( 7 / 3 ) = 33,33333333 s

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