Beschränktheit von Funktion und Folge, Mathe

Question

ich habe ein Problem mit dem beweisen von der Beschränkheit. Bildlich ist mir das auch völlig klar was es ist.

Doch ich weiß nicht wie ich das erkenne ob es nach oben oder unten beschränkt.

Ebenso weiß ich nicht wie ich es beweisen muss und wie es zu widerlegen ist. Die Formeln sind mir bekannt, doch wie es technisch zu machen ist weiß ich nicht.

Liebe Grüße

Comments

Es ist immer hilfreich, wenn du eine aktuelle Aufgabe stellst, mit der du nicht klar kommst, dann können wir das an der Aufgabe verdeutlichen. Dann probierst du das auf andere Aufgaben anzuwenden.

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Zum Beispiel
1) wenn eine Folge beschränkt ist, dann konvergiert sie. (  nein (-1)ⁿ nicht) aber wie beweist man das ich habe jetzt angenommen sie konvergiert und dass es dann auch bei 1 einen Grenzwert geben muss.

Bei diesen habe ich überhaupt kein Ahnung, wie man die beweisen muss.

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Bilde doch jeweils die ersten 3 bis 5 Folgeglieder.

an = 2n + (- 1)^n

1, 5, 5, 9, 9, ...

Was vermutest du? wie kannst du das zeigen? Betrachte z.B. nur allle ungeraden und alle geraden Folgeglieder getrennt.

Eine Schranke ist vermutlich 1 weil die Folge monoton steigend ist.

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bn = (n - 1) / n = 1 - 1/n

0, 0.5, 0.6666, 0.75, 0.8, ...

Was kannst du hier vermuten? Wie kannst du das zeigen? Eine Schranke ist dann vermutlich 0 und die Funktion ist streng monoton Steigend, hat aber auch eine obere Schranke.

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Muss ich das gleich 0 setzten und dann auflösen ?

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Nein. Was möchtest du damit tun?

Du solltest die Monotonie zeigen. Damit ist der erste Wert zugleich eine Schranke.

Answer 1

Folgen kannst du als Punktmengen auf dem Zahlenstrahl ansehen. Bilder von beschränkten Folgen vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Beschr%C3%A4nktheit (Anfang) Lies mal dort den Text daneben.

Du kannst Folgen auch wie eine Funktion in 2dimensionalen Bildern darstellen. Beispiel hier https://de.wikipedia.org/wiki/Folge_(Mathematik)#Beschr.C3.A4nktheit   Hier musst du dann feststellen, ob die Punkte in vertikaler (senkrechter) Richtung nicht unbegrenzt weit von der horizontalen Achse entfernt liegen können.

Zu den Beispielen:

Diese Folgen a - d sind alle nach unten beschränkt.

Für n=0 ist bei b) kein Folgenglied definiert, für n=1 gilt a_(1) = 0/1 = 0. Das kannst du dann ruhig als untere Grenze angeben, falls ihr n=0 nicht in den Folgen mit dabei habt.

Bei a, c und d ist 0 eine untere Grenze, da weder Zähler noch Nenner je negativ werden können.

Falls du noch wissen möchtest, ob die Folgen nach oben beschränkt sind.

Wenn du einen (endlichen) Grenzwert ausrechnen kannst und alle Folgenglieder existieren, sind die Folgen auch nach oben beschränkt. (Sollte so irgendwo als Satz in deinen Unterlagen schon bewiesen worden sein).  Von deinen Beispielen ist nur a) nicht nach oben beschränkt.