Beschreibung eines Exponentialtrichter durch das Flächenverhältnis und eine Kurvenfunktion

Question

Hallo miteinander,
ich beschäftige mich momentan mit Exponentialtrichtern, deren Querschnittsverlauf durch

A_x=A₀*exp(ε*x)

beschrieben wird. ε ist dabei die Trichterkonstante. In einem CAD-Programm möchte ich nun diese Form durch eine „Gleichungskurve“ modellieren. Hierfür verwende ich die Funktion

y(x)= exp(1/ε*x),

um sinnvolle Ergebnisse zu bekommen. Ich definiere also direkt die Kurve. Mein Problem ist nun, dass die Epsilons beider Gleichungen nicht übereinstimmen.
Bei der ersten Gleichung habe ich keinen wirklichen Nullpunkt, da immer ein Vielfaches des Ausgangsdurchmessers A gebildet wird. Die Frage ist nun, wie ich von der einen Gleichung auf die andere komme….
Ich hoffe, das Problem ist halbwegs verständlich beschrieben ;)
Im Anhang ist noch mal ein Ausschnitt aus dem CAD

Answer 1

Hast du bei y(x)= exp(1/ε*x) absichtlich keinen Vorfaktor A_(0) ? 

A_x=A₀*exp(E*x) 

 A_(x)/A_(0) = exp( E*x) 

y(x)= exp(1/ε*x)

Vergleich besagt nun, dass du

 y(x) = A_(x)/A_(0)

und E = 1/ε

verwenden kannst.

Comments

Ein Vorfaktor ist in der Funktion nicht vorgesehen. Wie im Bild gezeigt, wird zu erst eine Linie erstellt die dem Radius entspricht und dann die Gleichungskurve für 0<x<133 im rechten Winkel an diese Linie gesetzt. Dadurch ergeben sich die Radien am Eingang 49,5 und Ausgang 100,249, wenn ε = 39,19 ist.

Stelle ich A_x=A₀*exp(ε*x)  nun nach ε um, wäre ε=1/x * ln(d_x/d_o)² =10,611 [1/m].

Daher meine Vermutung, irgendwo einen Logikfehler zu begehen.

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Ohne Vorfaktor hast du immer 

y(0) = exp ( 1/E * 0) = exp(0) = 1. Wenn dir das egal ist, hier die Auflösung nach Epsilon:  

A_x=A₀*exp(ε*x)       | umstellen nach E(psilon) 

Ax/A0 = exp( E*x) 

ln (Ax/A0) = E*x

1/x * ln(Ax/A0) = E 

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Die Auflösung nach Epsilon habe ich ja schon. In dem trüber stehenden Kommentar hab ich diese mit einer kleinen Beispielrechnung, in Anlehnung an das Bild, aufgeführt. Das Problem ist nun, dass E ≠ 1/ε ist. und somit irgendwo ein Fehler vorliegen muss.