Beweis für die allgemeine Ungleichung a/b + b/a ≥ 2

Question

Beweisen Sie folgende Ungleichungen für beliebige positive reelle Zahlen \( a, b, c: \)
(a) \( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2 \)

Ich hätte links den Hauptnenner gebildet und dann multipliziert mit dem Nenner da er ja positiv ist..

Ist der Ansatz richtig ?

Danke  schon mal  !

Answer 1

Hi,

es gilt $$ (a-b)^2 \ge =0  $$ Daraus folgt $$ a^2 -2ab + b^2 \ge 0  $$ also $$ \frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2  $$

Comments

Und warum ist das allgemein bewiesen ?

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Weil diese Umformungen für alle \( a, b \ge 0 \) gelten

Answer 2

Ich hätte links den Hauptnenner gebildet und dann multipliziert mit dem Nenner da er ja positiv ist.. 

Ist der Ansatz richtig ? 

Du hast dann

a^2 + b^2 ≥ 2ab          | -2ab

a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0

(a-b)^2 ≥ 0                Das hier stimmt schon mal.

Nun das Ganze von hinten her aufschreiben.

Comments

Mit dem Binom ist das dann allgemein bewiesen, warum ?

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"Mit dem Binom ist das dann allgemein bewiesen, warum ? "

Eine Quadratzahl einer reellen Zahl ist nie kleiner als 0.  

Die binomische Formel ist allgemeingültig. 

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Nun das Ganze von hinten her aufschreiben.

Warum "von hinten her aufschreiben"? Da a und b positiv sind, sind alle vier Ungleichungen äquvalent und die letzte offensichtlich immer wahr. Das kann man also so stehen lassen, zumal mit dem Ansatz von Gast ie1788 begonnen wird und die Rechnung mit der Darstellung durch die letzte Ungleichung als dem zu erreichenden Ziel schließt.

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Geschmackssache. Mir gefällt der Beweis besser dann besser ;)