Ableitung der geometrische Reihe. Zeigen, dass ∑^{∞}_(n=1) (n^2 + n) * x^n = 2x / (1-x)^3

Question

Hi,

Hier eine Aufgabe zur Ableitung der geometrische Reihe:

∑^∞_n=1 (n² + n) . xⁿ = 2x / (1-x)³

Comments

Summenformel für geometrische Reihe:

∑^∞_n=1 xⁿ = x / (1-x)  für |x| < 1

Nun kannst du ja mal links und rechts ein paar mal ableiten.

Übrigens: Habe diese oder eine sehr ähnliche Frage hier vor ein paar Tagen schon mal gesehen. Wenn nötig, kannst du ja mal suchen. 

          

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Ja, es ist mir klar, dass die zweiter Ableitung von x / (1-x) = 2x / (1-x)³ ist. Wie soll ich aber das umschreiben, und was passiert mit (n²+n)

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∑^∞_n=1 xⁿ 

= ∑^∞_n=0 xⁿ⁺¹ 

1. Ableitung davon

 ∑^∞_n=0 (n+1) *xⁿ

^{2. Ableitung} 

= ∑^∞_n=0 n * (n+1) x^n-1 

= ∑^∞_n=0  (n^2 + n) x^n-1 

= 0 * x^{-1} + 2*1 + 5*x .....

= ∑^∞_n=1  (n^2 + n) x^n-1 

passt noch nicht ganz. Man müsste jetzt noch die ganze Summe mit x multiplizieren, was dann auch das x im Zähler von x/(1-x) begründet. 

Kontrolliere mal und/oder suche die bereits vorhandene Frage (und Antwort). 

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Hi, Danke Dir. Wenn ich die Summe mit *x multipliziert hab, dann hat es wieder nicht gepasst, aber kein Problem ich lasse das auf 

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Bitte. Wenn du Zeit hast, suche mal alle Fragen der letzten Tage durch. Ich kann mich nur erinnern, dass dein Kollege erst die Tags "vollständige" ""induktion" gesetzt hatte, die ja nicht unbedingt passten. 

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haha ich achte auch nicht darauf , welche Tags gesetzt wird, sorry xD

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"ich achte auch nicht darauf , welche Tags gesetzt wird, sorry xD"

Es wäre schon gut, wenn du dir da Mühe geben würdest. Damit kannst du die Sucharbeit für deine späteren Leidensgenossen etwas einfacher machen. 

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Yo okay ab jetzt mache ich es leichter für meine Leidensgefährte :v ^^

Answer 1

Hi,
nach https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe gilt
$$ \sum_{n=1}^\infty nx^n = \frac{x}{(1-x)^2} $$ für \( |x| < 1 \) und
$$ \sum_{n=1}^\infty n^2x^n = \frac{x(x+1)}{(1-x)^3} $$ für \( |x| < 1 \)
Daraus folgt
$$ \sum_{n=1}^\infty (n+n^2)x^n = \frac{2x}{(1-x)^3} $$

Comments

"Daraus folgt.."   Hab keine Ahnung wie du diese Antwort bekommen hast. Stimmt aber haha

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Ich habe die ersten beiden Ergebnisse einfach zusammnen  gezählt und dann vereinfacht. Normale Bruchrechnung.

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Okay alles klar, eine letzte Bitte - ich würde mich sehr freuen wenn du mir erklärst, wie (n + n²) = 2x im Zähler.

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Was meinst Du damit. Ich versteh nicht was Du meinst!

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Ich vermute, da ist bloss die Bruchaddition unklar, da noch nicht klar ist, dass man die beiden Gleichungen untereinander einfach addieren kann. 

x/(1-x)^2 + (x(x+1))/(1-x)^3

= x(1-x)/(1-x)^3 + (x^2 + x)/(1-x)^3

= ( x - x^2 + x^2 + x)/(1-x)^3

= ( 2x)/(1-x)^3 

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Ja genau, hab nicht bemerkt, dass (n + n²) praktisch x/(1-x)² + (x(x+1))/(1-x)³ ist.