Addition Binomialkoeffizienten: (n - 1 über k) + (n - 1 über k - 1)

Question

\( \left(\begin{array}{c}{n-1} \\ {k}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{n-1} \\ {k-1}\end{array}\right) \)

Ich habe es natürlich erstmal umgeschrieben zu:

\( \frac{(n-1) !}{(n-1-k) ! k !}+\frac{(n-1) !}{(n-k) !(k-1) !} \)

Wahrscheinlich jetzt den Hauptnenner bilden. Benötige ich da "Fakultätengesetze" ?

Danke schonmal !

Answer 1

$$\binom{n - 1}{k} + \binom{n - 1}{k - 1} \newline = \frac{(n - 1)!}{k! \cdot (n - 1 - k)!} + \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot (n - 1 - (k - 1))!} \newline = \frac{(n - 1)!}{k! \cdot (n - k - 1)!} + \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot (n - k)!} \newline \text{Merke: } a! = (a - 1)! \cdot a\newline = \frac{(n - 1)! \cdot (n - k)}{(k - 1)! \cdot k \cdot (n - k - 1)! \cdot (n - k)} + \frac{(n - 1)! \cdot k}{(k - 1)! \cdot k \cdot (n - k)!} \newline = \frac{(n - 1)! \cdot (n - k)}{k! \cdot (n - k)!} + \frac{(n - 1)! \cdot k}{k! \cdot (n - k)!} \newline = \frac{(n - 1)! \cdot (n - k) + (n - 1)! \cdot k}{k! \cdot (n - k)!} \newline = \frac{(n - 1)! \cdot ((n - k) + k)}{k! \cdot (n - k)!} \newline = \frac{(n - 1)! \cdot n}{k! \cdot (n - k)!} \newline = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \newline = \binom{n}{k}$$

Comments

Verstanden bis zum letzten Schritt:

Wie kommst du auf n! im Zähler ?

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((n - 1)!·(n - k) + (n - 1)!·k)     | (n-1)! ausklammern

= (n-1)! * ((n-k) + k)        | 2. Klammer vereinfachen

= (n-1)! * n

= n! 

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Guten Tag,

es könnte dumm klingen, aber ich verstehe leider den ersten Schritt der Umformung nicht, sprich Wie taucht oben bspw. im ersten Bruch (n-k) auf und im zweiten nur k ?

Anscheinend gibt es Fakultätsgesetze die ich nicht kenne, wäre froh wenn einer diese Frage hier noch mal aufgreifen könnte.

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Merke:

a! = (a - 1)!·a

und auch

(a - 1)!·a = a!

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Ach okay, ich hab diese Beziehung davor in der Rechnung übersehen.

Danke!