alle binomialkoeffizienten von k=3 bis k=20 zusammenzählen

Question

Aufgabe:

20 verschiedene Punkte liegen auf einem Kreis. Ein n-Eck (n S 20) wird nun folgender-massen gezeichnet: Man wählt n Punkte aus und verbindet sie im Uhrzeigersinn; nach einer "Umdrehung" ist das n-Eck gezeichnet

Wie viele Vielecke kann man zeichnen?

Problem/Ansatz:

Ich glaube, dass sich die Anzahl der 5–Ecke zum Beispiel mit 20 über 5 berechnen lässt. Die Anzahl alle Vielecke wäre somit die Summe aller Binomialkoeffizienten mit n=20 und k von 3 bis 20. Gibt es eine einfachere Methode, diese zusammenzuzählen, als jeden Binomialkoeffizient einzel zu berechnen? Und stimmt diese Überlegung überhaupt?

Answer 1

∑ (x = 3 bis 20) ((20 über x))

= ∑ (x = 0 bis 20) ((20 über x)) - ∑ (x = 0 bis 2) ((20 über x))

= 2^20 - ∑ (x = 0 bis 2) ((20 über x))

= 2^20 - (20 über 0) - (20 über 1) - (20 über 2)

= 2^20 - 1 - 20 - 20*19/2

= 2^20 - 1 - 20 - 20*19/2 = 1048365

Comments

danke :) gibt es eine Regel, weshalb die Summe von (x=0 bis 20) ((20 über x)) = 2²⁰ ist?

---

(n über k) ist die Anzahl aller k Elemertiger Teilmengen einer Menge mit n Elementen.

Wenn ich die Summe aller Anzahlen von Teilmengen bilde dann bekomme ich 2^n als Anzahl aller möglichen Teilmengen heraus.

---

gibt es eine Regel, weshalb die Summe von (x=0 bis 20) ((20 über x)) = 2^{20} ist?

Es gilt: $$2^{20} = \left(1+1\right)^{20}$$Wendet man jetzt auf die rechte Seite den Binomialsatz (das ist die binomische Formel vom Grade 20) an, so steht die Summe der Binomialkoeffizienten da.