Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen bestimmen

Question

ich soll zeigen, dass

$$Re\frac{1+z}{1-z}=\frac{1-|z|}{|1-z|^{2}}$$

und

$$Im\frac{1+z}{1-z}=\frac{2Im(z)}{|1-z|^2}$$

sind.

In meiner Lösung steht:

$$\frac{1+z}{1-z}=\frac{(1+z)(1-z)}{(1-z)^{2}}=\frac{1-\bar z +z-|z|^{2}}{(1-z)^{2}}$$

Und wenn man weiter umformt, komme man dann auf das Ergebnis.

Meine Frage ist, wenn ich die Klammern auflöse, wie komme ich auf $$-\bar z$$ ? 1*(-z)bleibt doch -z oder?

Ist $$\bar z$$ etwa dasselbe wie -z?

Danke für die Antwort

Answer 1

Hi,
$$ \frac{1+z}{1-z} = \frac{(1+z)(1-\overline z)}{(1-z)(1-\overline z)} = \frac{1-\overline z + z - |z|^2}{|1-z|^2} = \frac{1-|z|^2 +2 \cdot \Im(z)}{|1-z|^2} $$
Also gilt $$ \Re \left( \frac{1+z}{1-z} \right) = \frac{1-|z|^2}{|1-z|^2} $$
D.h. in Deiner Aufgabebeschreibung und Lösung sind Fehler.