Wie kann man die Wahrscheinlichkeit vom Maximum hier abschätzen?

Question

ich habe folgendes Problem. Ich kann die Abschätzung der folgenden Gleichung nicht nachvollziehen bzw. würde gerne wissen wie man das berechnet oder darauf kommt:

$$P\{\max\limits_{i\leq n}|S_i|\ge 3\lambda\sqrt{n}\} \leq P\{|S_n|\ge \lambda\sqrt{n}\}+\sum\limits_{i=1}^{n-1}P(E_i\cap\{|S_n-S_i|\ge 2\lambda\sqrt{n}\})$$

Weiter ist gegeben, dass

$$E_i=\{\max\limits_{j<i}|S_j|<3\lambda\sqrt{n}\leq |S_i|\}$$

gilt.

Es gilt ja

$$P\{\max\limits_{i\leq n}|S_i|\ge 3\lambda\sqrt{n}\}=P(\cup E_i)$$

Wie kommt man dann weiter?