Grenzwert berechnen (1+(1/2x))^x

Question

Hallo vielleicht könnt ihr mir helfen:

ich muss den Grenzwert von folgender Aufgabe berechnen:

(1+(1/2x))^x

Mein Ansatz war folgender:

Mit Hilfe der e-Funktion bekomme ich:

e^{x*ln(1+(1/2x)} 

also muss ich nun den Grenzwert von x*ln(1+(1/2x) bestimmen aber das macht die Sache nicht leichter...

:-)

Comments

^{$$\left(1+\frac 12 x \right)^x$$
oder
$$\left(1+\frac 1{2 x} \right)^x$$
?}

Answer 1

lim (x --> ∞) (1 + 1/(2·x))^x

= lim (x --> ∞) (1 + 0.5/x)^x

Benutze: lim (x --> ∞) (1 + a/x)^x = e^a

= e^0.5

Comments

Bist Du Hellseher oder woher weist Du, das der Grenzwert für \( x \to \infty\) gesucht ist. Und woher weist Du wie die Klammern zu setzen sind?

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Ja. Ich habe hier eine Kristallkugel. Die liegt zwar nicht immer richtig aber ich denke mit ausreichender Genauigkeit.

Vielleicht meldet sich der Fragesteller ja noch und bestätigt oder wiederlegt die Prognose meiner Kristallkugel.

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Ja du hattest vollkommen Recht! Sorry dass ich nicht ausreichend klare Informationen gegeben habe :/

Wie kommst du denn auf die Regel mit e^a?

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lim (x --> ∞) (1 + a/x)^x

lim (x --> ∞) EXP(x * LN((1 + a/x)))

Schau dir nur den Exponenten der e-Funktion an

lim (x --> ∞) x * LN((1 + a/x))

lim (x --> ∞) LN((1 + a/x)) / (1/x)

L'Hospital

lim (x --> ∞) - a/(x·(x + a)) / (- 1/x^2)

lim (x --> ∞) a·x/(x + a)

lim (x --> ∞) a - a^2/(x + a) = a

Nun stand das aber im Exponenten der e-Funktion. Daher ergibt sich

lim (x --> ∞) EXP(x * LN((1 + a/x))) = EXP(a)