Hallo.
Ich betrachte zunächst nur den Fall \(a \ge b\) und substituiere \(x=\sqrt[n]{a}\) und \(y=\sqrt[n]{b}\). Nach Exponieren der Gleichung mit \(n\) erhält man
$$(x-y)^n \le x^n - y^n$$
Das lässt sich mit der vollständigen Induktion beweisen. Induktionsanfang mit n=1:
$$x-y \le x-y$$
ist trivial - jetzt der Induktionsschritt von \(n\) nach \(n+1\). Es zu zeigen, dass
$$(x-y)^{n+1} \le x^{n+1} - y^{n+1}$$
ist. Dazu dividiere ich durch \((x-y)\)
$$(x-y)^n \le \sum _{i=0}^{n} x^{n-i} y^{i} = x^{n} + x^{n-1}y + ... xy^{n-1} + y^n$$
Da \(x\) und \(y\) größer 0 sind (wg. Wurzel) und der rechte Term daher sicher größer als \((x^n - y^n)\) ist, ist obige Ungleichung nach Induktionsvoraussetzung immer erfüllt.
Für den Fall \(a \lt b\) gilt
$$\left| \sqrt[n]{a} - \sqrt[n]{b} \right| = \sqrt[n]{b} - \sqrt[n]{a}$$
$$\sqrt[n]{|a-b|} = \sqrt[n]{b-a}$$
und der Beweis wäre identisch.
Gruß Werner